Pfthb

Die Wellenfunktion ψdisplaystyle psi beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum. Ihr Betragsquadrat bestimmt die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Ort des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.

Eine Wellenfunktion ist die Funktion, die die Schrödingergleichung (im Ortsraum) löst. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen (wie Elektronen in den Schalen eines Atoms) oder freie Teilchen (z. B. ein α- oder β-Teilchen als Wellenpaket) beschreiben.
Die Wellenfunktion ist in der Regel eine komplexe Funktion.

Bei Teilchensystemen (z. B. mit mehreren gleichen Teilchen) bezeichnet man eine solche Lösung als Vielteilchen-Wellenfunktion. Wegen der Wechselwirkung der Teilchen untereinander lassen sich diese Lösungen jedoch meist nicht mehr ohne die modernere Methodik der Quantenfeldtheorie berechnen.

Quantenteilchen als Welle |

In der schrödingerschen Quantenmechanik ergeben sich Wellenfunktionen als Lösung der Schrödingergleichung.

Da die Schrödingergleichung im komplexen Raum definiert ist, benötigt sie zur allgemeinen Lösung in der Regel eine Funktion, deren Funktionswerte ebenfalls im komplexen Raum liegen. Daher ist die Wellenfunktion nicht reell, sondern komplexwertig. Dies spiegelt sich u. a. darin wider, dass ψ(r,t)displaystyle psi (boldsymbol r,t) nicht unbedingt eine reale physikalische Bedeutung zukommt. Sie ist in der Regel nicht messbar, sondern dient nur der mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Aus ihr lässt sich jedoch das zu erwartende Ergebnis einer Messung durch komplexe Konjugation berechnen.

Zum Vergleich: Auch die elektrische Feldstärke E(r,t)displaystyle mathit boldsymbol mathrm E (boldsymbol r,t) einer Radiowelle ist die Lösung einer (klassischen) elektrodynamischen Wellengleichung. Die elektrische Feldstärke ist jedoch z. B. durch eine Antenne und einen Radioempfänger messbar.

Teilchen mit inneren Eigenschaften (wie zum Beispiel dem Spin eines gebundenen Elektrons oder dem Drehimpuls eines Photons) werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Je nach dem Transformationsverhalten der Wellenfunktionen bei Lorentztransformationen unterscheidet man in der relativistischen Quantenfeldtheorie skalare, tensorielle und spinorielle Wellenfunktionen bzw. Felder.

Normierungsbedingung und Aufenthaltswahrscheinlichkeit |

Im Unterschied zur klassischen Physik ist eine exakte Aussage über den Aufenthaltsort rdisplaystyle mathbf r eines Quantenteilchens im Allgemeinen nicht möglich (Heisenbergsche Unschärferelation). Stattdessen lässt sich nur die Wahrscheinlichkeit angeben, ein Teilchen (z. B. Elektron) in einem Ortsbereich (einem Intervall des Ortsraums) zu finden. Sie ergibt sich für Teilchen-Wellenfunktionen durch die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(r,t)displaystyle rho (boldsymbol r,t) über diesen Raumbereich:

P(r,t)=∫Vρ(r,t)dVdisplaystyle P(mathbf r ,t)=int _textV^rho (boldsymbol r,t)mathrm ; mathrm d V

Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird für eine normierte Wellenfunktion durch das Betragsquadrat der Wellenfunktion angegeben:

ρ(r,t)=|ψ(r,t)|2=ψ∗(r,t)ψ(r,t)displaystyle psi (boldsymbol r,t)

mit der komplex konjugierten Funktion ψ∗(r,t)displaystyle psi ^*(mathbf r ,t) zu ψ(r,t)displaystyle psi (boldsymbol r,t). Man spricht bei der Wellenfunktion daher auch von einer „Wahrscheinlichkeitswelle“.

Wenn ein Teilchen existiert, muss es sich zu jeder Zeit irgendwo im Raum aufhalten. D.h. die differentielle Wahrscheinlichkeit dP(r,t)displaystyle mathrm d P(boldsymbol r,t), das Teilchen zur Zeit t am Ort r=(x,y,z)displaystyle boldsymbol r=(x,y,z) im Volumenelement dV=dxdydzdisplaystyle mathrm d V=mathrm d x,mathrm d y,mathrm d z anzutreffen, muss über den Ortsraum integriert Eins ergeben:

P(r,t)=∫RaumdP(r,t)=∫Raumρ(r,t)dV=1displaystyle beginalignedP(boldsymbol r,t)&=int _textRaum^mathrm d P(boldsymbol r,t)\&=int _textRaum^rho (boldsymbol r,t)mathrm ; mathrm d V=1endaligned

Damit muss die Wellenfunktion die räumliche Normierungsbedingung erfüllen:

⇒∫Raumψ∗(r,t)ψ(r,t)dV=1displaystyle Rightarrow int _textRaum^psi ^*(boldsymbol r,t);psi (boldsymbol r,t),mathrm d V=1

Einfache Wellenfunktion |

Wellenfunktion |

Die Wellenfunktion ψ(r,t)displaystyle psi (mathbf r ,t) eines quantenmechanischen freien Teilchens kann z. B. die Form einer ebenen Welle mit einem (mathematisch) reellen und einem (mathematisch) imaginären Teil besitzen:

ψ(r,t)=A0exp⁡(i(ωt−kr))=ARcos⁡(ωt−kr)−AIsin⁡(ωt−kr)+i(AIcos⁡(ωt−kr)+ARsin⁡(ωt−kr))displaystyle beginalignedpsi (boldsymbol r,t)&=A_0exp(mathrm i (omega t-boldsymbol kboldsymbol r))\&=A_Rcos(omega t-boldsymbol kboldsymbol r)-A_Isin(omega t-boldsymbol kboldsymbol r)+mathrm i left(A_Icos(omega t-boldsymbol kboldsymbol r)+A_Rsin(omega t-boldsymbol kboldsymbol r)right)endaligned

mit

• 
  rdisplaystyle boldsymbol r der Ort als Vektor (Ortsvektor),


• 
  A0displaystyle A_0 die (komplexwertige) Amplitude, mit dem reellen Teil ARdisplaystyle A_R und dem imaginären AIdisplaystyle A_I, so dass A0=AR+iAIdisplaystyle A_0=A_R+mathrm i ,A_I
  


• 
  kdisplaystyle boldsymbol k der Wellenvektor, der Richtung und Wellenlänge der Welle festlegt


• 
  ωdisplaystyle omega die Kreisfrequenz, die die Schwingungsperiode der Welle beschreibt.

Messung |

Die Wellenfunktion multipliziert mit ihrer komplexen Konjugation ψ∗(r,t)displaystyle psi ^*(boldsymbol r,t) ergibt das Betragsquadrat der Wellenfunktion:

|ψ(r,t)|2=ψ∗(r,t)ψ(r,t)=A0∗A0=AR2+AI2displaystyle psi (boldsymbol r,t)

Diese Funktion ist proportional (da |ψ|2psi noch nicht normiert ist) zur Dichtefunktion ρ(r,t)displaystyle rho (boldsymbol r,t) des Teilchens als Funktion des Ortes und der Zeit an:

|ψ(r,t)|2∝ρ(r,t)psi (boldsymbol r,t)

Normierung |

Um die Wellenfunktion zu normieren, teilt man sie durch die Wurzel des Integrals über |ψ(r,t)|2psi (boldsymbol r,t). Aus der normierten Wellenfunktion erhält man damit die korrekte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

ρ(r,t)=|ψ(r,t)|2∫Raum|ψ(r,t)|2dVdisplaystyle rho (boldsymbol r,t)=frac ^2psi (boldsymbol r,t)

Das Integral über eine ebene Welle ist jedoch nicht definiert. Aus diesem Grund multipliziert man die Wellenfunktion ψ(r,t)displaystyle psi left(boldsymbol r,tright) mit einer einhüllenden Funktion (z. B. einer Gaußfunktion). Die entstehende Funktion kann ein berechenbares endliches Integral haben. Zudem kann sie für alle anderen Anwendungen praktisch gleiche Eigenschaften wie ψdisplaystyle psi haben. In diesem Fall spricht man von einem Wellenpaket.

Definition |

Dieser Artikel wurde den Mitarbeitern der Redaktion Physik zur Qualitätssicherung aufgetragen. Wenn du dich mit dem Thema auskennst, bist du herzlich eingeladen, dich an der Prüfung und möglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen. Der Meinungsaustausch darüber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite, sondern auf der Qualitätssicherungs-Seite der Physik statt.

Eine Wellenfunktion bezieht sich auf jeden Vektor oder jede Funktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, indem sie ihn als Entwicklung nach anderen Zuständen desselben Systems darstellt.

Typische Wellenfunktionen sind entweder:

• Ein Vektor aus komplexen Zahlen mit endlich vielen Komponenten:

ψ→=[c1⋮cn]displaystyle vec psi =beginbmatrixc_1\vdots \c_nendbmatrix,

• Ein Vektor aus komplexen Zahlen mit abzählbar unendlich vielen Komponenten (diskreter Index):

ψ→=[c1⋮cn⋮]displaystyle vec psi =beginbmatrixc_1\vdots \c_n\vdots endbmatrix,

• oder eine komplexwertige Funktion einer oder mehrerer stetig veränderlicher reeller Variablen:

ψ(x1,…xn)displaystyle psi (x_1,,ldots ,x_n).

In allen Fällen liefert die Wellenfunktion eine vollständige Beschreibung des betreffenden physikalischen Systems. Es ist allerdings wichtig anzumerken, dass eine einem bestimmten System zugeordnete Wellenfunktion das System nicht eindeutig bestimmt; vielmehr können viele verschiedene Wellenfunktionen das gleiche physikalische System beschreiben.

Teilcheninterpretation |

Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.

Ein Teilchen in einer Raumdimension |

Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine komplexe Funktion ψ(x)displaystyle psi (x), über der Menge der reellen Zahlen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, |ψ|2^2,, wird als Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenposition interpretiert.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall [a,b]displaystyle [a,b] zu finden, ist folglich

∫ab|ψ(x)|2dxpsi (x).

Dies führt zu der Normierungsbedingung

∫−∞∞|ψ(x)|2dx=!1displaystyle int _-infty ^infty

da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.

Ein Teilchen in drei Raumdimensionen |

Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion ψ(x,y,z)displaystyle psi (x,y,z), definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen Rdisplaystyle R zu finden, ist deshalb

∫R|ψ(x,y,z)|2dV^2,mathrm d V.

Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall

∫|ψ(x,y,z)|2dV=1psi (x,y,z)

wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.

Zwei unterscheidbare Teilchen in drei Raumdimensionen |

In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,

ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2)displaystyle psi (x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2),,

und |ψ|2^2, ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann

∫R∫S|ψ|2dV2dV1^2,mathrm d V_2,mathrm d V_1

wobei dV1=dx1dy1dz1displaystyle mathrm d V_1=mathrm d x_1mathrm d y_1mathrm d z_1 und ebenso für dV2displaystyle mathrm d V_2. Die Normierungsbedingung ist deshalb

∫|ψ|2dV2dV1=1^2,mathrm d V_2,mathrm d V_1=1,

wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.

Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus beiden Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die Moderne Physik nennt dieses Phänomen Quantenverschränkung bzw. Quanten-Nichtlokalität.

Ein Teilchen im eindimensionalen Impulsraum |

Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion ψ(p)displaystyle psi (p), definiert auf der Menge der reellen Zahlen. Die Größe |ψ|2^2, wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall [a,b]displaystyle [a,b] ergibt, ist folglich

∫ab|ψ(p)|2dppsi (p).

Dies führt zur Normierungsbedingung

∫−∞∞|ψ(p)|2dp=1psi (p),

weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.

Spin-1/2-Teilchen (z. B. Elektron) |

Die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin 1/2 (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor

ψ→=[c1c2]displaystyle vec psi =beginbmatrixc_1\c_2endbmatrix.

Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen c1displaystyle c_1
und c2displaystyle c_2 den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in zdisplaystyle z-Richtung (spin up) und entgegen der zdisplaystyle z-Richtung (spin down). In der Dirac-Notation ist dies:

|ψ⟩=c1|↑z⟩+c2|↓z⟩psi rangle =c_1

Die Werte |c1|2c_1 und |c2|2displaystyle werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in zdisplaystyle z-Richtung oder entgegen der zdisplaystyle z-Richtung orientiert ist.

Dies führt zur Normierungsbedingung

|c1|2+|c2|2=1^2+.

Siehe auch |

• 
  Boson – Teilchen mit symmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.


• 
  Fermion – Teilchen mit antisymmetrischer Wellenfunktion unter Permutation.


• Austauschwechselwirkung