Pfthb

Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Charles-François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882)) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung:^[1]

−(p⋅ψ′)′+q⋅ψ=λ⋅w⋅ψdisplaystyle -left(pcdot psi 'right)'+qcdot psi =lambda cdot wcdot psi

wobei p,q,wdisplaystyle p,q,w Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen λdisplaystyle lambda , für die die Differentialgleichung auf dem Intervall (a,b)displaystyle (a,b) eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen

cos⁡(α)ψ(a)+sin⁡(α)p(a)ψ′(a)=0cos⁡(β)ψ(b)+sin⁡(β)p(b)ψ′(b)=0displaystyle beginalignedcos(alpha )psi (a)&+sin(alpha )p(a)psi '(a)=0\cos(beta )psi (b)&+sin(beta )p(b)psi '(b)=0endaligned

genügt (α,β∈[0,π)displaystyle alpha ,beta in [0,pi )).

Führt man den linearen Operator der Form

L=1w(−ddxpddx+q)displaystyle mathcal L=frac 1wleft(-frac mathrm d mathrm d x,p,frac mathrm d mathrm d x+qright)

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung Lψ=λψdisplaystyle mathcal Lpsi =lambda psi mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion wdisplaystyle w quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizientenfunktionen w,p−1,qdisplaystyle w,p^-1,q integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizientenfunktionen nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme |

Die Eigenwertgleichung

−(p⋅ψ′)′+q⋅ψ=λ⋅w⋅ψdisplaystyle -(pcdot psi ')'+qcdot psi =lambda cdot wcdot psi

mit integrierbaren reellen Funktionen w(x)>0,p(x)−1>0,q(x)displaystyle w(x)>0,p(x)^-1>0,q(x), zusammen mit Randbedingungen der Form

cos⁡(α)ψ(a)+sin⁡(α)p(a)ψ′(a)=0,cos⁡(β)ψ(b)+sin⁡(β)p(b)ψ′(b)=0,α,β∈[0,π),displaystyle cos(alpha )psi (a)+sin(alpha )p(a)psi '(a)=0,quad cos(beta )psi (b)+sin(beta )p(b)psi '(b)=0,qquad alpha ,beta in [0,pi ),

nennt man ein reguläres Sturm-Liouville-Problem über dem Intervall [a,b]displaystyle [a,b], wenn dieses Intervall endlich ist.

Im Fall ψ(a)=ψ(b)=0displaystyle psi (a)=psi (b)=0 spricht man von Dirichlet-Randbedingungen und im Fall ψ′(a)=ψ′(b)=0displaystyle psi '(a)=psi '(b)=0 von Neumann-Randbedingungen, wobei die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung mit den Randbedingungen sichergestellt wird.

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt, die gegen +∞displaystyle +infty divergiert:

λ1<λ2<λ3<⋯<λn<⋯→∞.displaystyle lambda _1<lambda _2<lambda _3<cdots <lambda _n<cdots to infty .

Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch (Weyl-Asymptotik) wie

λn=π2(∫abw(x)p(x)dx)−2n2+O(n).displaystyle lambda _n=pi ^2left(int _a^bsqrt frac w(x)p(x)mathrm d xright)^-2n^2+O(n).

Die zugehörigen Eigenfunktionen ψndisplaystyle psi _n bilden eine Orthonormalbasis im Hilbertraum L2([a,b],w(x)dx)displaystyle L^2([a,b],w(x)mathrm d x) der bezüglich der Gewichtsfunktion wdisplaystyle w quadratintegrierbaren Funktionen.

Beispiel |

Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung

−ψ″=λψdisplaystyle -psi ''=lambda psi

auf dem Intervall [0,π]displaystyle [0,pi ], zusammen mit den Dirichlet-Randbedingungen

ψ(0)=ψ(π)=0.displaystyle psi (0)=psi (pi )=0.

Aufgrund der Randbedingungen wird der periodische Ansatz ψ(x)=asin⁡(λx)displaystyle psi (x)=asin(sqrt lambda x) für λ>0displaystyle lambda >0 und beliebige a∈Rdisplaystyle ain mathbb R gewählt. Wegen ψ(0)=ψ(π)=0displaystyle psi (0)=psi (pi )=0 ist a≠0displaystyle aneq 0 und sin⁡(λπ)=0,displaystyle sin(sqrt lambda pi )=0, also λπ=nπdisplaystyle sqrt lambda pi =npi und somit λ=n2displaystyle lambda =n^2 für n∈Ndisplaystyle nin mathbb N . Die Folge der Eigenwerte lautet demnach

λn=n2displaystyle lambda _n=n^2

und genügt der Weyl-Asymptotik.
Die Folge der Eigenfunktionen ergibt sich, bis auf die zu bestimmenden Koeffizienten andisplaystyle a_n, zu

ψn(x)=ansin⁡(nx).displaystyle psi _n(x)=a_nsin(n,x).

Die Orthonormalbasis der Eigenfunktionen im Hilbertraum L2([a,b],dx)displaystyle L^2([a,b],mathrm d x) mit w(x)=1displaystyle w(x)=1 ergibt sich unter Verwendung der trigonometrischen Formel sin⁡(nx)sin⁡(mx)=12(cos⁡((n−m)x)−cos⁡((n+m)x))displaystyle textstyle sin(nx);sin(mx)=frac 12Big (cos big ((n-m)xbig )-cos big ((n+m)xbig )Big ):

⟨ψn,ψm⟩=∫ψn(x)¯ψm(x)dx=∫0πansin⁡(nx)¯amsin⁡(mx)dx=anam∫0πsin⁡(nx)sin⁡(mx)dx=anam2∫0π(cos⁡((n−m)x)−cos⁡((n+m)x))dx={anam2[1n−msin⁡((n−m)x)−1n+msin⁡((n+m)x)]0π=0wennn≠man22[x−12nsin⁡(2nx)]0π=an2π2wennn=m=an2π2δnm.displaystyle beginalignedlangle psi _n,psi _mrangle &=int overline psi _n(x)psi _m(x)mathrm d x=int _0^pi overline a_nsin(nx);a_msin(mx),mathrm d x=a_na_mint _0^pi sin(nx)sin(mx),mathrm d x\&=frac a_na_m2int _0^pi bigg (cos big ((n-m)xbig )-cos big ((n+m)xbig )bigg ),mathrm d x\\&=begincasesfrac a_na_m2bigg [frac 1n-msin big ((n-m)xbig )-frac 1n+msin big ((n+m)xbig )bigg ]_0^pi =0&&textwenn;nneq m\\frac a_n^22Bigg [x-frac 12nsin(2nx)bigg ]_0^pi =frac a_n^2pi 2&&textwenn;n=mendcases\\&=frac a_n^2pi 2delta _nm.endaligned

Hierbei bedeutet δnmdisplaystyle delta _nm das Kronecker-Delta und die Normierung ⟨ψn,ψm⟩=δnmdisplaystyle langle psi _n,psi _mrangle =delta _nm bedingt an=2πdisplaystyle a_n=sqrt frac 2pi , so dass die normierten Eigenfunktionen die Darstellung

ψn(x)=2πsin⁡(nx)displaystyle psi _n(x)=sqrt frac 2pi sin(n,x)

annehmen.

Die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist die Fourierreihe mit

Ψ=∑n=1∞ψn=∑n=1∞2πsin⁡(nx).displaystyle Psi =sum _n=1^infty psi _n=sum _n=1^infty sqrt frac 2pi sin(nx).

Eigenschaften |

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem ist man daran interessiert, das Verhalten der Eigenfunktionen zu beschreiben, ohne deren genaue Kenntnis zu haben. Insofern geben die nachfolgenden Sätze, die teilweise auf Charles-François Sturm zurückgehen, einen Überblick an die Eigenschaften der Lösungen des Sturm-Liouville-Problems.

Dazu wird die homogene Differentialgleichung Lψ=1w(−ddxpddx+q)ψ=0displaystyle textstyle mathcal Lpsi =frac 1wleft(-frac mathrm d mathrm d x,p,frac mathrm d mathrm d x+qright)psi =0 für w=1displaystyle w=1 betrachtet und nachfolgende Anforderungen an die Koeffizientenfunktionen p,qdisplaystyle p,q gestellt:

• 
  p∈C1((a,b),R)displaystyle pin C^1((a,b),mathbb R ) und p>0displaystyle p>0,


• 
  q∈C0((a,b),R)displaystyle qin C^0((a,b),mathbb R ) und q>0displaystyle q>0.^[2]

Darüberhinausgehende Anforderungen sind in den entsprechenden Sätzen formuliert.

Oszillationssatz |

Der Oszillationssatz besagt für Lψ=0displaystyle mathcal Lpsi =0, wenn neben den eingangs beschriebenen Anforderungen für p,qdisplaystyle p,q zudem gilt:

limb→∞∫ab1p(x)dxdisplaystyle lim _bto infty int _a^bfrac 1p(x)mathrm d x und limb→∞∫abq(x)dxdisplaystyle lim _bto infty int _a^bq(x)mathrm d x sind divergent,

dann ist auf dem Intervall (a,∞)displaystyle (a,infty ) jede nicht-triviale Lösung oszillatorisch.^[3]

Zudem gilt im Falle von Dirichlet-Randbedingungen, dass jede ndisplaystyle n-te Eigenfunktion ψndisplaystyle psi _n genau n−1displaystyle n-1 Nullstellen im Intervall (a,b)displaystyle (a,b) hat.

Beweis

Seien ϕdisplaystyle phi ebenso wie ψ:=pϕ′displaystyle psi :=pphi ' nicht-triviale Lösungen der homogenen Differentialgleichung. Mit ϕ′=1pψdisplaystyle phi '=tfrac 1ppsi und wegen −(pϕ′)′+qϕ=0displaystyle -(pphi ')'+qphi =0 ist ψ′=(pϕ′)′=qϕdisplaystyle psi '=(pphi ')'=qphi und somit:

(ϕψ)′=(1pψqϕ)=(01pq0)(ϕψ)displaystyle beginpmatrixphi \psi endpmatrix'=beginpmatrixfrac 1ppsi \qphi endpmatrix=beginpmatrix0&frac 1p\q&0endpmatrixbeginpmatrixphi \psi endpmatrixquad qquad (I).

Dieses lineare Differentialgleichungssystem hat nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn für jedes ξ≥adisplaystyle xi geq a gilt (ϕ(ξ)ψ(ξ))=(ϕ(ξ)pϕ′(ξ))≠(00)displaystyle Big (beginsmallmatrixphi (xi )\psi (xi )endsmallmatrixBig )=Big (beginsmallmatrixphi (xi )\pphi '(xi )endsmallmatrixBig )neq big (beginsmallmatrix0\0endsmallmatrixbig ), da sonst ϕ(ξ)=ϕ(ξ)′=0displaystyle phi (xi )=phi (xi )'=0 und daher ϕ(ξ)≡0displaystyle phi (xi )equiv 0 sein müsste.

Gesucht sind daher oszillatorische Lösungen, die mittels der Prüfer-Transformation in ebenen Polarkoordinaten erhalten werden:

(ϕ(x)ψ(x))=ρ(x)(sin⁡ϑ(x)cos⁡ϑ(x))displaystyle beginpmatrixphi (x)\psi (x)endpmatrix=rho (x)beginpmatrixsin vartheta (x)\cos vartheta (x)endpmatrixqquad qquad qquad (II).

Dabei ist ρ(x)=(ϕ2(x)+ψ2(x))1/2displaystyle rho (x)=big (phi ^2(x)+psi ^2(x)big )^1/2 und die dazugehörige Argumentfunktion lautet:

ϑ(x)=arctan⁡ϕ(x)ψ(x)displaystyle vartheta (x)=arctan tfrac phi (x)psi (x)quad bzw. ϑ(x)=arccot⁡ψ(x)ϕ(x)displaystyle quad vartheta (x)=operatorname arccot tfrac psi (x)phi (x).^[4]

Behauptung: Falls limx→∞ϑ(x)→∞displaystyle lim _xto infty vartheta (x)to infty , dann haben sin⁡ϑ(x)displaystyle sin vartheta (x) ebenso wie ϕ(x)displaystyle phi (x) unendlich viele Nullstellen.

Begründung: Aus (I) und (II) folgt

ϕ′=(II)ρ′sin⁡ϑ+ρϑ′cos⁡ϑ=(I)rpcos⁡ϑdisplaystyle phi ';stackrel mathrm (II) =rho 'sin vartheta +rho vartheta 'cos vartheta ;stackrel mathrm (I) =frac rpcos vartheta qquad qquad (III a)

ψ′=(II)ρ′cos⁡ϑ−ρϑ′sin⁡ϑ=(I)−qsin⁡ϑdisplaystyle psi ';stackrel mathrm (II) =rho 'cos vartheta -rho vartheta 'sin vartheta ;stackrel mathrm (I) =-qsin vartheta qquad quad ; (III b).

Wird die Gleichung (III a) mit cos⁡ϑdisplaystyle cos vartheta und Gleichung (III b) mit −sin⁡ϑdisplaystyle -sin vartheta multipliziert und addiert, so ergibt sich:

ϑ′=1pcos2⁡ϑ+qsin2⁡ϑ>0displaystyle vartheta '=frac 1pcos ^2vartheta +qsin ^2vartheta >0qquad qquad qquad quad (IV),

ϑdisplaystyle vartheta ist also monoton wachsend.

Bleibt noch zu zeigen, dass ϑdisplaystyle vartheta unbeschränkt ist.

Wäre ϑdisplaystyle vartheta beschränkt, so existierten die Grenzwerte α:=limx→∞cos2⁡ϑ(x)displaystyle alpha :=lim _xto infty cos ^2vartheta (x) und β:=limx→∞sin2⁡ϑ(x)displaystyle beta :=lim _xto infty sin ^2vartheta (x) und es wäre α+β=1displaystyle alpha +beta =1. Insbesondere ist α>0displaystyle alpha >0 oder β>0displaystyle beta >0.

Sei im Folgenden x0>adisplaystyle x_0>a so groß, dass cos2⁡ϑ(x)≥α2,sin2⁡ϑ(x)≥β2displaystyle cos ^2vartheta (x)geq tfrac alpha 2,;sin ^2vartheta (x)geq tfrac beta 2 für alle x>x0displaystyle x>x_0. Dann liefert Gleichung (IV) nach Integration für alle x>x0displaystyle x>x_0

ϑ(x)−ϑ(x0)=∫x0xϑ′(t)dt=∫x0x(1p(t)cos2⁡ϑ(x)⏟≥α/2+q(t)sin2⁡ϑ(x)⏟≥β/2)dt≥α2∫x0x1p(t)dt+β2∫x0xq(t)dt→x→∞∞displaystyle beginalignedvartheta (x)-vartheta (x_0)&=int _x_0^xvartheta '(t)mathrm d t\&=int _x_0^xbigg (frac 1p(t)underbrace cos ^2vartheta (x) _geq alpha /2+q(t)underbrace sin ^2vartheta (x) _geq beta /2bigg )mathrm d t\&geq frac alpha 2int _x_0^xfrac 1p(t)mathrm d t+frac beta 2int _x_0^xq(t)mathrm d tquad xrightarrow[xto infty ]quad infty endaligned

einen Widerspruch zur Voraussetzung. ϑdisplaystyle vartheta ist somit unbeschränkt.

◻displaystyle Box

Amplitudensatz |

Da die Amplituden den Absolutbetrag der lokalen Extremwerte angeben, wird mit dem nachfolgenden Satz das Verhalten der Amplituden aufeinanderfolgender Nullstellen beschrieben.

Abweichend von den eingangs genannten Voraussetzungen sei p,q∈C1((a,b),R)displaystyle p,qin C^1((a,b),mathbb R ), p,qdisplaystyle p,q monoton wachsend oder monoton fallend, sowie auf einem beliebigen Intervall (c,d)⊆(a,b)displaystyle (c,d)subseteq (a,b) sei ϕdisplaystyle phi eine nicht triviale Lösung von Lϕ=0displaystyle mathcal Lphi =0. Für die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Extremstellen xk<xk+1displaystyle x_k<x_k+1 von ϕdisplaystyle phi gilt dann:

|ϕ(xk+1)|≥|ϕ(xk)| wenn (pq)′<0phi (x_k+1) und

|ϕ(xk+1)|≤|ϕ(xk)| wenn (pq)′>0displaystyle .

Beweis

Es sei ϕdisplaystyle phi eine nicht-triviale Lösung und

ψ=ϕ2+1pq(pϕ′)2displaystyle psi =phi ^2+frac 1pqleft(pphi 'right)^2.

Dabei ist ψdisplaystyle psi keine Lösung der Sturm-Liouville-Differentialgleichung, jedoch
eine Funktion die mit denselben Extremstellen und Nullstellen ausgestattet ist wie ϕdisplaystyle phi . Mit Hilfe dieser Konstruktion folgt durch Differentiation mit (pϕ′)′=−qϕdisplaystyle (pphi ')'=-qphi

ψ′=2ϕϕ′+1pq2pϕ′(pϕ′)′−(pq)′(pq)2(pϕ′)2=2ϕϕ′−2ϕϕ′−(pq)′(pq)2(pϕ′)2=−(pq)′(ϕ′q)2.displaystyle beginalignedpsi '&=2phi phi '+frac 1pq2pphi 'left(pphi 'right)'-frac (pq)'(pq)^2left(pphi 'right)^2\&=2phi phi '-2phi phi '-frac (pq)'(pq)^2left(pphi 'right)^2\&=-(pq)'left(frac phi 'qright)^2.endaligned

Wird zudem berücksichtigt, dass an jedem Extrempunkt ϕ′(xk+1)=ϕ′(xk)=0displaystyle phi '(x_k+1)=phi '(x_k)=0 ist, so gilt für ein ξdisplaystyle xi mit c<xk≤ξ≤xk+1<ddisplaystyle c<x_kleq xi leq x_k+1<d

ψ′(ξ)≥0 wenn (p(ξ)q(ξ))′<0ψ′(ξ)≤0 wenn (p(ξ)q(ξ))′>0.displaystyle beginalignedpsi '(xi )geq 0&text wenn (p(xi )q(xi ))'<0\psi '(xi )leq 0&text wenn (p(xi )q(xi ))'>0.endaligned

Demzufolge wird die Steigung von ψdisplaystyle psi beeinflusst durch den Wert der Ableitung von (pq)′displaystyle (pq)'. Da sich die Steigung von ψdisplaystyle psi auf ϕ2displaystyle phi ^2 vererbt, erhält man für den Betrag:

|ϕ(xk+1)|≥|ϕ(xk)| wenn (pq)′<0phi (x_k+1) und

|ϕ(xk+1)|≤|ϕ(xk)| wenn (pq)′>0displaystyle .

◻displaystyle Box

Vergleichssatz |

Der Sturmsche Vergleichssatz liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Differentialgleichungen

(1) L1ϕ=−ddx(p(x)ddxϕ(x))+q1(x)ϕ(x)=0displaystyle quad mathcal L_1phi =-frac mathrm d mathrm d xbigg (p(x)frac mathrm d mathrm d xphi (x)bigg )+q_1(x)phi (x)=0qquad

(2) L2ψ=−ddx(p(x)ddxψ(x))+q2(x)ψ(x)=0displaystyle quad mathcal L_2psi =-frac mathrm d mathrm d xbigg (p(x)frac mathrm d mathrm d xpsi (x)bigg )+q_2(x)psi (x)=0,

wobei für x∈(c,d)⊆(a,b)displaystyle xin (c,d)subseteq (a,b) vorausgesetzt wird

p(x)>0displaystyle p(x)>0 monoton wachsend

q1(x)≥q2(x)>0displaystyle q_1(x)geq q_2(x)>0 monoton wachsend.

Wenn ϕdisplaystyle phi eine nicht triviale Lösung der Differentialgleichung L1ϕdisplaystyle mathcal L_1phi und ψdisplaystyle psi eine nicht triviale Lösung von L2ψdisplaystyle mathcal L_2psi ist, dann liegen im Intervall (c,d)displaystyle (c,d) zwischen zwei Nullstellen von ϕdisplaystyle phi eine Nullstelle von ψdisplaystyle psi .

Beweis

Als Ausgangspunkt für den nachfolgenden Beweis wird die Lagrange-Identität für Randwertprobleme benötigt. Dazu wird Gleichung (1) von links mit ψdisplaystyle psi multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit ϕdisplaystyle phi multipliziert wird, subtrahiert und so eine Lagrange-Identität erhalten:

ϕL2ψ−ψL1ϕ=ϕddx(−pddxψ)+ϕq2ψ−ψddx(−pddxϕ)−ψq1ϕ=ϕddx(−pddxψ)−ψddx(−pddxϕ)+(q2−q1)ϕψ=−ddx(pW(ϕ,ψ))+(q2−q1)ϕψ,displaystyle beginalignedphi mathcal L_2psi -psi mathcal L_1phi &=phi frac mathrm d mathrm d xbigg (-p,frac mathrm d mathrm d xpsi bigg )+phi q_2psi -psi frac mathrm d mathrm d xbigg (-p,frac mathrm d mathrm d xphi bigg )-psi q_1phi \&=phi frac mathrm d mathrm d xbigg (-p,frac mathrm d mathrm d xpsi bigg )-psi frac mathrm d mathrm d xbigg (-p,frac mathrm d mathrm d xphi bigg )+big (q_2-q_1big )phi psi \&=-frac mathrm d mathrm d xbigg (pW(phi ,psi )bigg )+big (q_2-q_1big )phi psi ,endaligned

wobei W(ϕ,ψ)=|ϕψϕ′ψ′|displaystyle W(phi ,psi )=left die Wronski-Determinante der Funktionen ϕ,ψdisplaystyle phi ,psi angibt. Nach Trennung der Variablen und beidseitiger Integration folgt:

∫cd(ϕL2ψ−ψL1ϕ)dx⏟Schritt 1=−[pW(ϕ,ψ)]cd⏟Schritt 2+∫cd(q2−q1)ϕψdx⏟Schritt 3displaystyle underbrace int _c^dBig (phi mathcal L_2psi -psi mathcal L_1phi Big )mathrm d x _textSchritt 1=underbrace -bigg [pW(phi ,psi )bigg ]_c^d _textSchritt 2+underbrace int _c^dbig (q_2-q_1big )phi psi mathrm d x _textSchritt 3.

Schritt 1: Die Berechnung des Integrals ∫cd(ϕL2ψ−ψL1ϕ)dxdisplaystyle textstyle int _c^dbig (phi mathcal L_2psi -psi mathcal L_1phi big )mathrm d x macht den Einsatz der schwachen Lösung erforderlich und kann in Anwendung der Lagrange-Identität für Randwertprobleme gefunden werden. Im Ergebnis erhält man ∫cd(ϕL2ψ−ψL1ϕ)dx=Cdisplaystyle textstyle int _c^dbig (phi mathcal L_2psi -psi mathcal L_1phi big )mathrm d x=C, mit einer zunächst beliebigen Integrationskonstante Cdisplaystyle C.

Schritt 2: Sind die beiden linear unabhängigen Funktionen ψdisplaystyle psi und o.B.d.A. ϕ:=pψ′displaystyle phi :=ppsi ' gegeben, so folgt mit Gleichung (2) −(pψ′)′+q2ψ=0displaystyle -(ppsi ')'+q_2psi =0, dass ϕ′=(pψ′)′=q2ψdisplaystyle phi '=(ppsi ')'=q_2psi und somit lässt sich die Wronski-Determinante wie folgt darstellen

W(ϕ,ψ)=|ϕψϕ′ψ′|=|pψ′ψq2ψψ′|=p(ψ′)2−q2(ψ)2displaystyle W(phi ,psi )=beginvmatrixphi &psi \phi '&psi 'endvmatrix=beginvmatrixppsi '&psi \q_2psi &psi 'endvmatrix=pleft(psi 'right)^2-q_2left(psi right)^2

und daher

−[pW(ϕ,ψ)]cd=−[p(p(ψ′)2−q2(ψ)2)]cddisplaystyle -bigg [pW(phi ,psi )bigg ]_c^d=-bigg [pleft(pleft(psi 'right)^2-q_2left(psi right)^2right)bigg ]_c^d.

Sei nun o. B. d. A. ϕ=pψ′≥0displaystyle phi =ppsi 'geq 0 auf dem Intervall (c,d)⊆(a,b)displaystyle (c,d)subseteq (a,b), so dass die Dirichlet-Randbedingung ϕ(c)=pψ′(c)=0=pψ′(d)=ϕ(d)displaystyle phi (c)=ppsi '(c)=0=ppsi '(d)=phi (d) erfüllt ist, dann folgt

−[pW(ϕ,ψ)]cd=−[p(p(ψ′)2−q2(ψ)2)]cd=[pq2(ψ)2]cd=p(d)q2(d)(ψ(d))2−p(c)q2(c)(ψ(c))2.displaystyle beginaligned-bigg [pW(phi ,psi )bigg ]_c^d&=-bigg [pleft(pleft(psi 'right)^2-q_2left(psi right)^2right)bigg ]_c^d=bigg [pq_2left(psi right)^2bigg ]_c^d\&=p(d)q_2(d)big (psi (d)big )^2-p(c)q_2(c)big (psi (c)big )^2.endaligned

Um zu zeigen welches Vorzeichen (p(d)q2(d)(ψ(d))2−p(c)q2(c)(ψ(c))2)displaystyle left(p(d)q_2(d)left(psi (d)right)^2-p(c)q_2(c)left(psi (c)right)^2right) hat, wird wegen (pq2)′>0displaystyle (pq_2)'>0 der Amplitudensatz |ψ(d)|<|ψ(c)|psi (d) angewandt und mit der Identität (ψ)2=|ψ|2psi folgende Ungleichungen betrachtet

p(d)q2(d)((ψ(d))2−(ψ(c))2)<0displaystyle p(d)q_2(d)left(big (psi (d)big )^2-big (psi (c)big )^2right)<0qquad qquad (*) und

p(c)q2(c)((ψ(d))2−(ψ(c))2)<0displaystyle p(c)q_2(c)left(big (psi (d)big )^2-big (psi (c)big )^2right)<0qquad qquad (**).

Addition von (*) und (**) liefert

p(d)q2(d)((ψ(d))2−(ψ(c))2)+p(c)q2(c)((ψ(d))2−(ψ(c))2)<0displaystyle p(d)q_2(d)left(big (psi (d)big )^2-big (psi (c)big )^2right)+p(c)q_2(c)left(big (psi (d)big )^2-big (psi (c)big )^2right)<0.

Nach umsortieren wird daraus

p(d)q2(d)(ψ(d))2−p(c)q2(c)(ψ(c))2−p(c)q2(c)(ψ(d))2−p(d)q2(d)(ψ(c))2<0displaystyle p(d)q_2(d)left(psi (d)right)^2-p(c)q_2(c)left(psi (c)right)^2-p(c)q_2(c)left(psi (d)right)^2-p(d)q_2(d)left(psi (c)right)^2<0.

Nach Voraussetzung ist p(c)q2(c)<p(d)q2(d)displaystyle p(c)q_2(c)<p(d)q_2(d), (ψ(d))2<(ψ(c))2displaystyle left(psi (d)right)^2<left(psi (c)right)^2 und somit p(c)q2(c)(ψ(d))2<p(d)q2(d)(ψ(c))2displaystyle p(c)q_2(c)left(psi (d)right)^2<p(d)q_2(d)left(psi (c)right)^2 bzw. p(c)q2(c)(ψ(d))2−p(d)q2(d)(ψ(c))2<0displaystyle p(c)q_2(c)left(psi (d)right)^2-p(d)q_2(d)left(psi (c)right)^2<0
und demzufolge muss gelten

p(d)q2(d)(ψ(d))2−p(c)q2(c)(ψ(c))2<0displaystyle p(d)q_2(d)left(psi (d)right)^2-p(c)q_2(c)left(psi (c)right)^2<0.

Also gilt

−[pW(ϕ,ψ)]cd<0displaystyle -bigg [pW(phi ,psi )bigg ]_c^d<0.

Wegen der Dirichlet-Randbedingung ist ϕ(c)=pψ′(c)=0=pψ′(d)=ϕ(d)displaystyle phi (c)=ppsi '(c)=0=ppsi '(d)=phi (d) und es gilt ψ′(c)=0=ψ′(d)displaystyle psi '(c)=0=psi '(d). Da nach Voraussetzung ϕ≥0displaystyle phi geq 0 auf (c,d)displaystyle (c,d) ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein ξ∈(c,d)displaystyle xi in (c,d) so dass ϕdisplaystyle phi eine lokale Extremstelle einnimmt. Unterhalb dieser Extremstelle ist ϕdisplaystyle phi monoton steigend und oberhalb der Extremstelle ist ϕdisplaystyle phi monoton fallend. Dementsprechend ist auch ψ′displaystyle psi ' in (c,d)displaystyle (c,d) zunächst monoton steigend und dann monoton fallend und wegen des Vorzeichenwechsels von ψ′displaystyle psi ' in (c,d)displaystyle (c,d) muss ψdisplaystyle psi eine Nullstelle in (c,d)displaystyle (c,d) haben.

Schritt 3:
Da die Funktionen ϕ,ψdisplaystyle phi ,psi dem Amplitudensatz und dem Oszillationssatz genügen und q2−q1<0displaystyle q_2-q_1<0 monoton fallend ist, bleibt das Integral beschränkt und es gilt:

∫cd(q2−q1)ϕψdx=C~displaystyle int _c^dbig (q_2-q_1big )phi psi mathrm d x=widetilde C.

Schlussendlich bleibt zu zeigen, dass die drei Teilergebnisse die Ausgangsgleichung

∫cd(ϕL2ψ−ψL1ϕ)dx⏟=C=−[pW(ϕ,ψ)]cd⏟<0=C~~+∫cd(q2−q1)ϕψdx⏟=C~displaystyle underbrace int _c^dBig (phi mathcal L_2psi -psi mathcal L_1phi Big )mathrm d x _=;C=underbrace -bigg [pW(phi ,psi )bigg ]_c^d _<;0;=;widetilde widetilde C+underbrace int _c^dbig (q_2-q_1big )phi psi mathrm d x _=;widetilde C

erfüllen. Da Cdisplaystyle C eine frei wählbare Integrationskonstante ist, ist diese so zu wählen, dass gilt:

C=C~~+C~displaystyle C=widetilde widetilde C+widetilde C

◻displaystyle Box

Mathematische Theorie |

Der geeignete mathematische Rahmen ist der Hilbertraum L2([a,b];w(x)dx)displaystyle L^2([a,b];w(x)rm dx) mit dem
Skalarprodukt

⟨f,g⟩:=∫abf(x)¯g(x)w(x)dxdisplaystyle langle f,grangle :=int _a^boverline f(x)g(x)w(x),rm dx.

In diesem Raum ist Ldisplaystyle mathcal L ein selbstadjungierter Operator, wenn er auf der Menge der (im Sinne der schwachen Ableitung) differenzierbaren Funktionen, die die Randbedingungen erfüllen, definiert wird:

D(L)=f∈L2([a,b];w(x)dx):f,pf′∈AC[a,b],Lf∈L2([a,b];;w(x)dx),cos⁡(α)f(a)+sin⁡(α)p(a)f′(a)=cos⁡(β)f(b)+sin⁡(β)p(b)f′(b)=0.displaystyle beginalignedmathfrak D(mathcal L)=&fin L^2([a,b];w(x)rm dx):f,pf'in AC[a,b],,mathcal Lfin L^2([a,b];\&;w(x)rm dx),,cos(alpha )f(a)+sin(alpha )p(a)f'(a)=cos(beta )f(b)+sin(beta )p(b)f'(b)=0.endaligned

Hierbei bezeichnet AC[a,b]displaystyle AC[a,b] die Menge der auf [a,b]displaystyle [a,b] absolut stetigen Funktionen. Da Ldisplaystyle mathcal L ein unbeschränkter Operator ist, betrachtet man die Resolvente

(L−z)−1,z∈Cdisplaystyle (mathcal L-z)^-1,qquad zin mathbb C ,

wobei zdisplaystyle z kein Eigenwert sein darf. Es stellt sich heraus, dass die Resolvente ein Integraloperator mit stetigem Kern (die Green’sche Funktion des Randwertproblems) ist. Somit ist die Resolvente ein kompakter Operator, und die Existenz einer abzählbaren Folge von Eigenfunktionen folgt aus dem Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von Ldisplaystyle mathcal L und der Resolvente folgt, da (L−z)−1ψ=αψdisplaystyle (mathcal L-z)^-1psi =alpha psi äquivalent ist zu Lψ=λψdisplaystyle mathcal Lpsi =lambda psi mit λ=(z+α−1)displaystyle lambda =(z+alpha ^-1) ist.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme |

Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem. Das Spektrum besteht dann im Allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil. Es gibt weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen, und die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist eine Integraltransformation (vergleiche Fouriertransformation anstelle von Fourierreihe).

Wechseln pdisplaystyle p oder wdisplaystyle w das Vorzeichen, so spricht man von einem indefiniten Sturm-Liouville-Problem.

Anwendung |

• Der Fall p(x)=w(x)=1displaystyle p(x)=w(x)=1 entspricht der eindimensionalen zeitunabhängigen Schrödingergleichung.


• Der Separationsansatz zur Lösung partieller Differentialgleichungen führt auf Sturm-Liouville-Probleme.

Siehe auch |

• Schwingende Saite


• Schwingende Membran

Weblinks |

Walter Oevel: Sturm-Liouville-Probleme. (PDF; 314 kB)

Literatur |

• 
  Gerald Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems (= Graduate Studies in Mathematics. Band 140). American Mathematical Society, Providence 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 (univie.ac.at). 
  


• 
  Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. Auflage. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-67642-2. 
  


• 
  Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009 (6. Auflage), ISBN 978-3-8348-0705-2
  


• 
  Joachim Weidmann: Lineare Operatoren in Hilberträumen. Teil 2. Anwendungen. Teubner, Stuttgart / Leipzig / Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-02237-0. 
  

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Charles-François Sturm: Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers terms sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre contenant un paramètre variable, Journal de mathématiques, 1836, bibnum
   


2. 
   ↑ Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 328–338, ISBN 978-3-8348-0705-2
   


3. 
   ↑ Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 333, ISBN 978-3-8348-0705-2
   


4. 
   ↑ Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag 2000, Seite 287–290, ISBN 3-540-67642-2