Feynman-Diagramm
Feynman-Diagramm eines Beitrags zur Elektron-Elektron-Streuung durch Austausch eines virtuellen Photons (Zeitachse von unten nach oben)
Feynman-Diagramme sind in der Teilchen- und Festkörperphysik standardmäßig verwendete bildliche Darstellungen quantenfeldtheoretischer Wechselwirkungen, die 1949 von Richard Feynman am Beispiel der Quantenelektrodynamik entwickelt wurden.[1]
Die Diagramme sind streng in mathematische Ausdrücke übersetzbar.
Inhaltsverzeichnis
1 Bedeutung und Anwendung
2 Aufbau
3 Propagatoren
3.1 Beispiele
4 Schleifen
5 Feynman-Regeln
5.1 Photonen
5.2 Z-Bosonen
5.3 W-Bosonen
5.4 Gluonen
5.5 Higgs-Bosonen
6 Typen von Feynman-Diagrammen
7 Festkörperphysikalische Analogie
8 Umsetzung in der Kunst
9 Siehe auch
10 Literatur
11 Weblinks
12 Einzelnachweise
Bedeutung und Anwendung |
Wechselwirkung zwischen Elektron, Positron und Photon (Zeitachse hier von links nach rechts)
Feynman-Diagramme sind eine abstrakte, graphische Repräsentation der Wechselwirkungen von Teilchen, die mathematisch durch Lagrange-Dichten Ldisplaystyle mathcal L
- L=Ψ†γ0(iγμ∂μ−m)Ψ−eΨ†γ0γμAμΨ−14(∂νAμ−∂μAν)(∂νAμ−∂μAν)displaystyle mathcal L=Psi ^dagger gamma ^0left(mathrm i gamma ^mu partial _mu -mright)Psi -ePsi ^dagger gamma ^0gamma ^mu A_mu Psi -frac 14left(partial _nu A_mu -partial _mu A_nu right)left(partial ^nu A^mu -partial ^mu A^nu right)
Hierbei ist Ψdisplaystyle Psi 
Solche Ausdrücke sind im Allgemeinen sehr kompliziert, lassen sich jedoch eindeutig in entsprechende Feynman-Diagramme übersetzen, die eine vereinfachte und anschauliche Darstellung bieten. Eine einfache Berechnung der mathematischen Ausdrücke erlauben Feynman-Diagramme jedoch nicht. Hierzu muss auf die mathematischen Formeln zurückgegriffen werden.
Üblicherweise werden Feynman-Diagramme dazu verwendet, die Berechnung von Streuprozessen in relativistischen Quantenfeldtheorien, z. B. in der Quantenelektrodynamik oder der Quantenchromodynamik, zu organisieren. Hierzu lässt sich die Gesamtamplitude eines Streuvorgangs als Summe aller gültigen Feynman-Diagramme in einer nach der Kopplungskonstanten entwickelten Potenzreihe aufschlüsseln. Anschließend können die einzelnen beitragenden Amplituden berechnet werden.
Zudem werden Feynman-Diagramme in der nichtrelativistischen Festkörperphysik, speziell in der Vielteilchenphysik und der Statistischen Physik, benutzt.[2]
Aufbau |
Feynman-Diagramme setzen sich aus grundlegenden Symbolen zusammen, die jeweils bestimmte Arten von Elementarteilchen abbilden. Fermionen (Materieteilchen) werden nach der üblichen Konvention mittels durchgezogener Linien mit Pfeil repräsentiert. Häufig wird das Antiteilchen als ein sich gegen die Zeit bewegendes Teilchen bezeichnet. Die Pfeilrichtung zeigt daher an, ob es sich um ein Teilchen (in Zeitrichtung) oder ein Antiteilchen (gegen die Zeitrichtung) handelt. Für die Beschriftung der Linien der Teilchen und Antiteilchen gibt es verschiedene Konventionen. Meist wird das genaue Symbol des Teilchens geschrieben. Manche Autoren verwenden aber eine kürzere und allgemeinere Schreibweise, die sowohl das Teilchen als auch das Antiteilchen bezeichnen kann (z. B. edisplaystyle e
Die Eichbosonen, welche die Interaktion von Teilchen vermitteln, werden je nach Wechselwirkung üblicherweise durch wellen- bzw. spiralförmige Linien repräsentiert, skalare Teilchen typischerweise durch gestrichelte Linien. Abweichungen von diesen Konventionen kommen vor, beispielsweise können W-Bosonen als gestrichelte Linien symbolisiert werden.
Die Zeit wird im Folgenden von links nach rechts dargestellt.
| Symbol | Bedeutung |
|---|---|
 | Fermion |
 | Antifermion |
 | Eichbosonen der elektroschwachen Wechselwirkung |
 | Gluon g (Eichboson der starken Wechselwirkung) |
 | Higgs-Boson (oder allgemein skalare Bosonen, seltener auch für Vektorbosonen) |
 | Terminator (z. B. Interaktion des Higgs-Bosons mit einem Kondensat[3]) |
Zusätzlich können Beschriftungen verwendet werden, um zu definieren, welches Elementarteilchen gemeint ist.
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Feynman-Diagramme haben äußere Linien, die in Wechselwirkungspunkte ein- oder auslaufen, und innere Linien, die Paare von Wechselwirkungspunkten verbinden. Den äußeren Linien entsprechen ein- und auslaufende Teilchen. Die Wechselwirkungspunkte, an denen die Linien zusammentreffen, heißen auch Vertices. An einem Vertex können Teilchen erzeugt, vernichtet oder gestreut werden.
Unter Festhalten der Zeit (von links nach rechts verlaufend) führt die Drehung um einen Vertex zu unterschiedlichen Interpretationen:
- Konfluenz- und Splitting-Prozesse
Annihilation eines Elektrons und Positrons zu einem Photon
Emission eines Photons durch ein Elektron
Absorption eines Photons durch ein Positron
Paarbildung eines Elektrons und Positrons durch ein Photon
Hierbei gilt zu beachten, dass ein Feynman-Diagramm nur aus über Teilchen zusammenhängenden Vertices besteht.
Propagatoren |
Die inneren Linien nennt man Propagatoren und deutet sie als virtuelle Teilchen. Virtuelle Teilchen können nicht beobachtet werden. Aufgrund dessen ergibt sich eine Mehrdeutigkeit. Alle Diagramme mit den gleichen ein- und auslaufenden Linien sind äquivalent und werden summiert.
Beispiele |
Bhabha-Streuung
Zur Berechnung der Streuung eines Fermions und Antifermions – der Bhabha-Streuung – betrachtet man Feynman-Diagramme mit einem einlaufenden und einem auslaufenden Elektron-Positron-Paar.
Die Bilder zeigen die Streuung in niedrigster Ordnung (tree-level). Die vier äußeren Linien stehen für die ein- und auslaufenden Elektronen und Positronen, die innere Wellenlinie für das virtuelle Photon, das die elektromagnetische Wechselwirkung bewirkt.
Ein Fermion und Antifermion (z. B. Elektron und Positron) mit einem vermittelnden virtuellen Eichboson (z. B. Photon)
Ein äquivalentes Diagramm zur Bhabha-Streuung mit einem anderen Propagator.
Jedem dieser Diagramme entspricht ein Beitrag zur Streuung, der gesamte Streuvorgang wird durch die Summe aller Diagramme dargestellt.
Compton-Effekt
Als weiteres Beispiel sei hier der Compton-Effekt in der niedrigsten Ordnung aufgeführt. Auch hier werden die möglichen Diagramme summiert.
| Compton-Effekt = | + |
Die Berechnung dieser Streuung und allgemeiner die Feynman-Regeln für die mathematischen Ausdrücke, die den Linien und Vertices entsprechen, finden sich in vielen Lehrbüchern der Teilchenphysik (siehe Weblinks).
Schleifen |
Neben den tree-level-Diagrammen, benannt nach ihrer baumartigen Struktur, sind zur exakten Berechnung auch die sogenannten Loop-Diagramme höherer Ordnung von Bedeutung.
A00displaystyle A_0^0
keine Schleife
(tree-level)
A10displaystyle A_1^0
eine Schleife
(1-loop)
A20displaystyle A_2^0
zwei Schleifen
(2-loop)
A21displaystyle A_2^1
zwei Schleifen
(2-loop)
Die möglichen Feynman-Diagramme lassen sich nach der Zahl der inneren Schleifen ordnen, die als Loop-Ordnung bezeichnet wird, und im Zuge einer Reihenentwicklung aufsummieren:
P=∑n=0∞(∑νAnν)αn=A00α0+A10α1+(A20+A21)α2+…displaystyle P=sum _n=0^infty left(sum _nu A_n^nu right)alpha ^n=A_0^0,alpha ^0+A_1^0,alpha ^1+(A_2^0+A_2^1),alpha ^2+ldots.
Es sind dabei beliebig viele Diagramme denkbar. Jedoch sind Beiträge höherer Ordnung mit der entsprechenden Potenz der Kopplungskonstanten αdisplaystyle alpha 
Feynman-Regeln |
Die Feynman-Regeln beschreiben, welche Wechselwirkungen möglich sind und welche nicht.
Photonen |
Photonen wechselwirken mit allen elektrisch geladenen Elementarteilchen. Abbildungen für Elektronen und Myonen:
Wechselwirkung zwischen Elektron, Positron und Photon
Wechselwirkung zwischen Myonen und Photon
Z-Bosonen |
Das Z-Boson wechselwirkt zwischen allen anderen Elementarteilchen des Standardmodells außer Gluonen, mit Photonen allerdings nur zugleich mit W-Bosonen. Insbesondere Neutrinos (ν1displaystyle nu _1
Wechselwirkung zwischen Z-Boson und Neutrinos
Wechselwirkung zwischen Elektron, Positron und Z-Boson
Wechselwirkung zwischen Myon, Anti-Myon und Z-Boson
W-Bosonen |
Das W-Boson vermittelt einerseits zwischen Neutrinos und den geladenen Leptonen l (Elektronen, Myonen und Tauonen) und andererseits zwischen Up-Typ-Quarks und Down-Typ-Quarks. Das W-Boson ist dabei der Träger einer positiven (W+) oder negativen (W−) elektrischen Ladung. Aufgrund der elektrischen Ladung unterliegt das W-Boson der Wechselwirkung mit dem Photon; außerdem wechselwirkt es mit dem Z-Boson sowie anderen W-Bosonen.
Wechselwirkung zwischen negativ geladenem Lepton, Neutrino und W-Boson
Wechselwirkung zwischen Neutrino, positiv geladenem Lepton und W-Boson
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen. Zeitachse läuft von oben nach unten
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen und zwei Photonen. Zeitachse läuft von oben nach unten
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen und zwei Z-Bosonen. Zeitachse läuft von oben nach unten
Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlich geladenen W-Bosonen, einem Z-Boson und einem Photon. Zeitachse läuft von oben nach unten
W-Bosonen sind vor allem deshalb interessant, da sie einen Wechsel des Flavour erlauben. Das bedeutet, dass sich die Anzahl der Elektronen, Neutrinos, etc. verändern kann. Diese Eigenschaft spielt etwa im β-Zerfall eine wichtige Rolle.
 β−-Zerfall eines Neutrons n→p+e−+ν¯edisplaystyle mathrm n to mathrm p +mathrm e ^-+overline nu _e  |  β+-Zerfall eines Protons p→n+e++νedisplaystyle mathrm p to mathrm n +mathrm e ^++nu _e  |
Gluonen |
Bildhafte Darstellung der Neutralisierung der Farbladung durch Mischung von Rot, Grün und Blau, bzw. der Farben mit den zugehörigen Antifarben
Gluonen vermitteln die starke Wechselwirkung zwischen Quarks.
Quarks besitzen eine Farbladung. Im Gegensatz zur elektrischen Ladung, die „positiv“ (+) oder „negativ“ (-) sein kann, sind die möglichen Farbladungen „Rot“, „Grün“ und „Blau“ sowie als Antifarbladung „Anti-Rot“ („Cyan“), „Anti-Grün“ („Magenta“) und „Anti-Blau“ („Gelb“). Um die Farbladung zu neutralisieren, müssen wahlweise Quarks mit den Farbladungen Rot,Grün,Blau, Cyan,Magenta,Gelb, Rot,Cyan, Grün,Magenta oder Blau,Gelb über Gluonen verbunden werden.
Gluonen tragen jeweils eine Farbladung und eine Antifarbladung. Dadurch unterliegen sie selbst der Starken Wechselwirkung und können sich somit untereinander verbinden. Theoretisch lassen sich so auch Gluon-Bälle erzeugen, welche nur aus Gluonen bestehen und ohne Quarks „auskommen“. Sie konnten jedoch bisher (2018) nicht nachgewiesen werden.
Higgs-Bosonen |
Das Higgs-Boson wechselwirkt mit allen massiven Elementarteilchen, also auch mit sich selbst (Selbstwechselwirkung). Lediglich mit Photonen und Gluonen gibt es keine Wechselwirkung. Nach dem Standardmodell der Teilchenphysik erhalten Elementarteilchen erst durch diese Wechselwirkung ihre Masse (siehe Higgs-Mechanismus).
Typen von Feynman-Diagrammen |
- Zusammenhängende Diagramme
- Ist jeder Vertex über innere Linien und andere Vertices mit jedem anderen Vertex verbunden, so bezeichnet man das Diagramm als zusammenhängend, anderenfalls als unzusammenhängend. Bei jedem zusammenhängenden Teil des Diagramms ist die Summe der Energien, Impulse und Ladungen der einlaufenden Teilchen gleich der Summe der Energien, Impulse und Ladungen der auslaufenden Teilchen.
- Ein-Teilchen-irreduzible Diagramme
- Kann ein zusammenhängendes Diagramm nicht durch Zerschneiden einer inneren Linie in zwei unzusammenhängende Diagramme geteilt werden, so heißt es Ein-Teilchen-irreduzibel. Bei solchen Diagrammen treten Integrationen auf, die man nicht systematisch als Produkt einfacherer Integrale vereinfachen kann.
- Amputierte Diagramme
- Lässt man bei einem Diagramm Korrekturen (Selbstenergien, s. u.) zu den äußeren Linien weg, so bezeichnet man es als amputiert.
- Selbstenergie-Diagramme
- Ein Diagramm mit einem Loop und mit äußeren Linien an nur zwei Vertices heißt (nach Amputation) Selbstenergiediagramm. Sein Wert hängt nur von der Energie und dem Impuls ab, der durch äußere Linien an dem einen Vertex hinein- und an dem anderen hinaus fließt.
- Skelett-Diagramme
- Ein Diagramm ohne ein Selbstenergie-Unterdiagramm bezeichnet man als Skelett-Diagramm.
Festkörperphysikalische Analogie |
Die gebräuchliche Übertragung auf die Festkörperphysik erhält man, indem man von der geschweift dargestellten Photonlinie, also von den Quanten der elektromagnetischen Wellen, zu den sog. Phononen übergeht, also zu den Quanten der Schallwellen, und indem man das rückwärts laufende Elektron nicht als Positron im Sinne der Quantenelektrodynamik, sondern als Defektelektron im Sinne der Festköpertheorie interpretiert. Man erhält auf diese Weise u. a. die wesentlichen Diagramme für das Zustandekommen der Supraleitung und allgemein für Konfluenz- und Splitting-Prozesse durch Vernichtung bzw. Erzeugung einer elementaren fermionischen Anregung (z. B. eines (negativ geladenen) Elektrons bzw. eines (positiv geladenen) Defektelektrons bzw. eines Polarons) zusammen mit einem einlaufenden (oder auslaufenden) bosonischen Quasiteilchens, z. B. des schon erwähnten Phonons oder eines sog. Magnons (quantisierte Spinwellen) oder eines Plasmons (einer quantisierten Plasmaschwingung).
Bei allen Wechselwirkungsprozessen unter Beteiligung der erwähnten Anregungen ist die Summe der Energien (Frequenzen mal ℏdisplaystyle hbar 
Umsetzung in der Kunst |
Chor der Kirche St. Nicolai in Kalkar: Das Ornament des linken Fensters ist aus Feynman-Graphen gebildet
Die Feynman-Graphen haben auch Eingang in die zeitgenössische Kunst gefunden. Der deutsche Glaskünstler Karl-Martin Hartmann hat im Jahr 2000 für die Kirche St. Nicolai in Kalkar ein Chorfenster geschaffen, das er aus einem Raster aus Feynman-Graphen gestaltete. Physikalische Erkenntnisse und die Schönheit der Naturwissenschaften sollen in diesem sakralen Kontext in einen Dialog mit den Lehren und Botschaften der Religion treten.[4]
Siehe auch |
- Compton-Streuung
- Paarvernichtung
- Paarbildung
- Vakuumpolarisation
- Pinguin-Diagramm
Literatur |
- Otto Nachtmann: Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik. Vieweg, Braunschweig 1986, ISBN 3-528-08926-1.
Weblinks |
Commons: Feynman-Diagramme – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Using Feynman diagrams to illustrate particle interactions in the Standard Model. CERN, abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch).
Martin Bäker: Wie funktionieren Feynman-Diagramme? In: ScienceBlogs. Abgerufen am 27. Februar 2013 (Einfache Erklärung der Berechnung von Feynman-Diagrammen).
Plip Tanedo: Let’s draw Feynman diagrams! In: Quantum Diaries. USLHC, Cornell University, abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch).
Carl Brannen: Feynman Diagrams for the Masses (part 1). Abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch).
Carl Brannen: Feynman Diagrams for the Masses (part 2). Abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch).
Einzelnachweise |
↑ R. P. Feynman: Space-Time Approach to Quantum Electrodynamics. Phys. Rev. 76, S. 769 (pdf; 4,8 MB)
↑ Abrikosov, Gor'kov, Dzyaloshinskii: Quantum field theory methods in statistical physics. Dover, 1961 und 1977, ISBN 0-486-63228-8.
↑ Demystifying the Higgs Boson with Leonard Susskind. In: YouTube. Stanford University, 16. August 2012, abgerufen am 27. Februar 2013 (englisch).
↑ www.pro-physik.de/details/articlePdf/1106933/issue.html Physik sakral: Interview mit dem Künstler im Physik Journal 3 (2004) Nr. 12, abgerufen am 14. Januar 2019
