Nevanlinna-Theorie


Die Nevanlinna-Theorie, benannt nach ihrem Begründer Rolf Nevanlinna, gehört in das mathematische Teilgebiet der Funktionentheorie. Sie trifft Aussagen über die Werteverteilung meromorpher Funktionen.




Inhaltsverzeichnis





  • 1 Überblick


  • 2 Die Nevanlinna-Charakteristik


  • 3 Die Nevanlinnaschen Hauptsätze


  • 4 Die Defektrelation


  • 5 Weitere Resultate zu Defekten


  • 6 Anwendungen


  • 7 Verallgemeinerungen


  • 8 Literatur


  • 9 Einzelnachweise




Überblick |


Grundgedanke der Nevanlinna-Theorie[1] (oder Werteverteilungstheorie) ist es, eine quantitative Fassung des Satzes von Picard zu gewinnen. Dieser Satz besagt, dass es für verschiedene Werte a1,a2,a3displaystyle displaystyle a_1,a_2,a_3displaystyle displaystyle a_1,a_2,a_3
aus der Riemannschen Zahlenkugel C¯displaystyle displaystyle overline mathbb C displaystyle displaystyle overline mathbb C
keine nicht-konstante meromorphe Funktion
f:C→C¯∖a1,a2,a3displaystyle displaystyle f:mathbb C to overline mathbb C setminus a_1,a_2,a_3displaystyle displaystyle f:mathbb C to overline mathbb C setminus a_1,a_2,a_3 gibt.
Um eine quantitative Fassung dieses Satzes zu gewinnen, betrachtet man
für r>0displaystyle displaystyle r>0displaystyle displaystyle r>0 und a∈C¯displaystyle displaystyle ain overline mathbb C displaystyle displaystyle ain overline mathbb C die
Anzahl n(r,a,f)displaystyle displaystyle n(r,a,f)displaystyle displaystyle n(r,a,f) der adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a-Stellen einer nicht konstanten, meromorphen Funktion fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f im
abgeschlossenen Kreis um 0 mit Radius rdisplaystyle displaystyle rdisplaystyle displaystyle r.
Dabei werden die adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a-Stellen gemäß Vielfachheit gezählt.
Es stellt sich als geeigneter heraus, statt der Funktion n(r,a,f)displaystyle displaystyle n(r,a,f)displaystyle displaystyle n(r,a,f) die integrierte Anzahlfunktion


N(r,a,f)=∫0rn(t,a,f)tdtdisplaystyle displaystyle N(r,a,f)=int _0^rfrac n(t,a,f)tdtdisplaystyle displaystyle N(r,a,f)=int _0^rfrac n(t,a,f)tdt

zu betrachten.
(Für a=f(0)displaystyle displaystyle a=f(0)displaystyle displaystyle a=f(0) muss dies geringfügig modifiziert werden, siehe unten.)
Nevanlinna definierte nun eine charakteristische Funktion
T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f), die mit rdisplaystyle displaystyle rdisplaystyle displaystyle r gegen unendlich strebt,
und zeigte, dass für die meisten
Werte von adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a die Funktionen T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f) und
N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,a,f) von der gleichen Größenordnung sind.
Genauer besagen seine beiden Hauptsätze, dass


N(r,a,f)≤T(r,f)+O(1)displaystyle displaystyle N(r,a,f)leq T(r,f)+O(1)displaystyle displaystyle N(r,a,f)leq T(r,f)+O(1)

für alle a∈C¯displaystyle displaystyle ain overline mathbb C displaystyle displaystyle ain overline mathbb C und


∑j=1qN(r,aj,f)≥(q−2)T(r,f)−S(r,f)displaystyle sum _j=1^qN(r,a_j,f)geq (q-2)T(r,f)-S(r,f)displaystyle sum _j=1^qN(r,a_j,f)geq (q-2)T(r,f)-S(r,f)

für verschiedene a1,a2,…,aq∈C¯displaystyle displaystyle a_1,a_2,dots ,a_qin overline mathbb C displaystyle displaystyle a_1,a_2,dots ,a_qin overline mathbb C ,
mit einem im Vergleich zu T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f) sehr kleinen Fehlerterm
S(r,f)displaystyle displaystyle S(r,f)displaystyle displaystyle S(r,f). Der Picardsche Satz folgt hieraus unmittelbar.



Die Nevanlinna-Charakteristik |


Damit das die Funktion N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,a,f) definierende Integral
auch für a=f(0)displaystyle displaystyle a=f(0)displaystyle displaystyle a=f(0) existiert, definiert man die Anzahlfunktion
genauer als oben angegeben durch


N(r,a,f)=∫0rn(t,a,f)−n(0,a,f)tdt+n(0,a,f)log⁡r.displaystyle N(r,a,f)=int _0^rfrac n(t,a,f)-n(0,a,f)tdt+n(0,a,f)log r.displaystyle N(r,a,f)=int _0^rfrac n(t,a,f)-n(0,a,f)tdt+n(0,a,f)log r.

Offensichtlich gilt n(r,a,f)=n(r,∞,1/(f−a))displaystyle displaystyle n(r,a,f)=n(r,infty ,1/(f-a))displaystyle displaystyle n(r,a,f)=n(r,infty ,1/(f-a)) und
N(r,a,f)=N(r,∞,1/(f−a))displaystyle displaystyle N(r,a,f)=N(r,infty ,1/(f-a))displaystyle displaystyle N(r,a,f)=N(r,infty ,1/(f-a)) für a∈Cdisplaystyle displaystyle ain mathbb C displaystyle displaystyle ain mathbb C .
Kurz schreibt man auch N(r,f)=N(r,∞,f)displaystyle displaystyle N(r,f)=N(r,infty ,f)displaystyle displaystyle N(r,f)=N(r,infty ,f), womit
N(r,1/(f−a))=N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,1/(f-a))=N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,1/(f-a))=N(r,a,f) für a∈Cdisplaystyle displaystyle ain mathbb C displaystyle displaystyle ain mathbb C .
Des Weiteren definiert man die Schmiegungsfunktion durch


m(r,f)=m(r,∞,f)=12π∫02πlog+⁡|f(reiθ)|dθ,f(re^itheta )f(re^itheta )

wobei log+⁡x=max0,log⁡xdisplaystyle displaystyle log ^+x=max0,log xdisplaystyle displaystyle log ^+x=max0,log x.
Für a∈Cdisplaystyle displaystyle ain mathbb C displaystyle displaystyle ain mathbb C setzt man entsprechend
m(r,a,f)=m(r,∞,1/(f−a))displaystyle displaystyle m(r,a,f)=m(r,infty ,1/(f-a))displaystyle displaystyle m(r,a,f)=m(r,infty ,1/(f-a)).
Die Nevanlinna-Charakteristik T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f) ist dann definiert durch


T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).displaystyle displaystyle T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).displaystyle displaystyle T(r,f)=N(r,f)+m(r,f).

Es gilt T(r,f)→∞displaystyle displaystyle T(r,f)to infty displaystyle displaystyle T(r,f)to infty für
r→∞displaystyle displaystyle rto infty displaystyle displaystyle rto infty , wenn fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f nicht konstant ist.
Ist fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f transzendent, gilt sogar


limr→∞T(r,f)log⁡r=∞.displaystyle lim _rto infty frac T(r,f)log r=infty .displaystyle lim _rto infty frac T(r,f)log r=infty .

Für ganze Funktionen ist der Maximalbetrag


M(r,f)=max|z|≤r|f(z)|

ein Maß für das Wachstum der Funktion.
Für 1<r<Rdisplaystyle displaystyle 1<r<Rdisplaystyle displaystyle 1<r<R gilt


T(r,f)≤log+⁡M(r,f)≤R+rR−rT(R,f).displaystyle T(r,f)leq log ^+M(r,f)leq dfrac R+rR-rT(R,f).displaystyle T(r,f)leq log ^+M(r,f)leq dfrac R+rR-rT(R,f).

Die Ordnung ρ(f)displaystyle displaystyle rho (f)displaystyle displaystyle rho (f) einer meromorphen Funktion fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f ist definiert durch


ρ(f)=lim supr→∞log⁡T(r,f)log⁡r.displaystyle rho (f)=limsup _rrightarrow infty dfrac log T(r,f)log r.displaystyle rho (f)=limsup _rrightarrow infty dfrac log T(r,f)log r.

Für ganze Funktionen kann man aufgrund der obigen Beziehung zwischen Nevanlinna-Charakteristik und Maximalbetrag hier T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f) durch
log⁡M(r,f)displaystyle displaystyle log M(r,f)displaystyle displaystyle log M(r,f) ersetzen. Funktionen endlicher Ordnung bilden eine wichtige und ausführlich untersuchte Klasse meromorpher Funktionen.


Alternativ zur Nevanlinna-Charakteristik kann man auch eine von Lars Valerian Ahlfors und Shimizu Tatsujirō eingeführte Variante verwenden. Die Ahlfors-Shimizu-Charakteristik unterscheidet sich von der Nevanlinna-Charakteristik nur um einen beschränkten Term.



Die Nevanlinnaschen Hauptsätze |


Der Erste Hauptsatz besagt, dass für alle
a∈C¯displaystyle ain overline mathbb C displaystyle ain overline mathbb C


T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1)displaystyle displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1)displaystyle displaystyle T(r,f)=N(r,a,f)+m(r,a,f)+O(1)

gilt. Insbesondere gilt also


N(r,a,f)≤T(r,f)+O(1).displaystyle displaystyle N(r,a,f)leq T(r,f)+O(1).displaystyle displaystyle N(r,a,f)leq T(r,f)+O(1).

Der erste Hauptsatz ist eine einfache Folgerung aus der
Jensenschen Formel.


Wesentlich tiefer liegt der Zweite Hauptsatz.
Dieser besagt, dass für
verschiedene a1,a2,…,aq∈C¯displaystyle displaystyle a_1,a_2,dots ,a_qin overline mathbb C displaystyle displaystyle a_1,a_2,dots ,a_qin overline mathbb C
die Ungleichung


∑j=1qm(r,aj,f)≤2T(r,f)−N1(r,f)+S(r,f)displaystyle sum _j=1^qm(r,a_j,f)leq 2T(r,f)-N_1(r,f)+S(r,f)displaystyle sum _j=1^qm(r,a_j,f)leq 2T(r,f)-N_1(r,f)+S(r,f)

gilt, wobei


N1(r,f)=2N(r,f)−N(r,f′)+N(r,1f′)≥0displaystyle displaystyle N_1(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+Nleft(r,dfrac 1f'right)geq 0displaystyle displaystyle N_1(r,f)=2N(r,f)-N(r,f')+Nleft(r,dfrac 1f'right)geq 0

und S(r,f)displaystyle displaystyle S(r,f)displaystyle displaystyle S(r,f) ein im Vergleich zu T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f)displaystyle displaystyle T(r,f) kleiner
Fehlerterm ist. Genauer gilt, dass eine Menge E⊂[1,∞)displaystyle displaystyle Esubset [1,infty )displaystyle displaystyle Esubset [1,infty )
von endlichem Maß existiert, so dass


S(r,f)=O(log⁡T(r,f))+O(log⁡r)displaystyle displaystyle S(r,f)=O(log T(r,f))+O(log r)displaystyle displaystyle S(r,f)=O(log T(r,f))+O(log r)

für r→∞displaystyle displaystyle rto infty displaystyle displaystyle rto infty , r∉Edisplaystyle displaystyle rnotin Edisplaystyle displaystyle rnotin E.


Mit Hilfe des ersten Hauptsatzes erkennt man, dass die Ungleichung


(q−2)T(r,f)≤∑j=1qN(r,aj,f)−N1(r,f)+S(r,f)displaystyle (q-2)T(r,f)leq sum _j=1^qN(r,a_j,f)-N_1(r,f)+S(r,f)displaystyle (q-2)T(r,f)leq sum _j=1^qN(r,a_j,f)-N_1(r,f)+S(r,f)

eine äquivalente Formulierung des zweiten Hauptsatzes ist.


Der Term N1(r,f)displaystyle displaystyle N_1(r,f)displaystyle displaystyle N_1(r,f) zählt die mehrfachen Stellen der Funktion. Bezeichnet man mit n¯(r,a,f)displaystyle displaystyle overline n(r,a,f)displaystyle displaystyle overline n(r,a,f) und N¯(r,a,f)displaystyle displaystyle overline N(r,a,f)displaystyle displaystyle overline N(r,a,f) die n(r,a,f)displaystyle displaystyle n(r,a,f)displaystyle displaystyle n(r,a,f) und N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,a,f)displaystyle displaystyle N(r,a,f) entsprechenden Funktionen, wobei aber auch mehrfache adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a-Stellen nur einfach gezählt werden, so erhält man


(q−2)T(r,f)≤∑j=1qN¯(r,aj,f)+S(r,f).displaystyle (q-2)T(r,f)leq sum _j=1^qoverline N(r,a_j,f)+S(r,f).displaystyle (q-2)T(r,f)leq sum _j=1^qoverline N(r,a_j,f)+S(r,f).


Die Defektrelation |


Eine der wesentlichen Folgerungen aus dem zweiten Hauptsatz ist die Defektrelation. Für a∈C¯displaystyle displaystyle ain overline mathbb C displaystyle displaystyle ain overline mathbb C
nennt man


δ(a,f)=lim infr→∞m(r,a,f)T(r,f)=1−lim supr→∞N(r,a,f)T(r,f)displaystyle delta (a,f)=liminf _rrightarrow infty frac m(r,a,f)T(r,f)=1-limsup _rrightarrow infty dfrac N(r,a,f)T(r,f)displaystyle delta (a,f)=liminf _rrightarrow infty frac m(r,a,f)T(r,f)=1-limsup _rrightarrow infty dfrac N(r,a,f)T(r,f)

Nevanlinnadefekt von adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a. Das zweite Gleichheitszeichen gilt dabei nach dem ersten Hauptsatz, da T(r,f)→∞displaystyle displaystyle T(r,f)to infty displaystyle displaystyle T(r,f)to infty für r→∞displaystyle displaystyle rto infty displaystyle displaystyle rto infty . (Es sei immer vorausgesetzt, dass fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f nicht konstant ist.)
Aus dem ersten Hauptsatz folgt, dass 0≤δ(a,f)≤1displaystyle displaystyle 0leq delta (a,f)leq 1displaystyle displaystyle 0leq delta (a,f)leq 1 für alle a∈C¯displaystyle ain overline mathbb C displaystyle ain overline mathbb C . Man nennt adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a defekten Wert oder Nevanlinnaschen Ausnahmewert, wenn δ(a,f)>0displaystyle displaystyle delta (a,f)>0displaystyle displaystyle delta (a,f)>0 gilt. Nach dem zweiten Hauptsatz ist die Menge der defekten Wert abzählbar und es gilt die Defektrelation


∑aδ(a,f)≤2,displaystyle sum _adelta (a,f)leq 2,displaystyle sum _adelta (a,f)leq 2,

wobei die Summe über alle defekten Werte gebildet wird. Die Defektrelation ist eine weitreichende Verallgemeinerung des Satzes von Picard, denn ist fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f transzendent und nimmt fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f den Wert adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a nur endlich oft an, so gilt δ(a,f)=1displaystyle displaystyle delta (a,f)=1displaystyle displaystyle delta (a,f)=1. Auch eine von Borel gegebene Verschärfung des Satzes von Picard folgt leicht aus dem zweiten Hauptsatz.



Weitere Resultate zu Defekten |


Ein zentrales Problem der Nevanlinnatheorie war lange, ob die Defektrelation und die Ungleichung 0≤δ(a,f)≤1displaystyle displaystyle 0leq delta (a,f)leq 1displaystyle displaystyle 0leq delta (a,f)leq 1 die einzigen Einschränkungen für die Nevanlinnadefekte einer meromorphen Funktion sind. Dieses sogenannte Umkehrproblem der Nevanlinnatheorie wurde 1976 von David Drasin gelöst.[2] (Für ganze Funktionen war es vorher durch Wolfgang Fuchs und Walter Hayman gelöst worden.) Für Funktionen endlicher Ordnung gibt es jedoch verschiedene weitere Einschränkungen. Gilt zum Beispiel Gleichheit in der Defektrelation, so folgt ρ(f)=n/2displaystyle displaystyle rho (f)=n/2displaystyle displaystyle rho (f)=n/2 mit einer natürlichen Zahl n≥2displaystyle ngeq 2displaystyle ngeq 2. Dies war von Rolf Nevanlinnas Bruder Frithiof vermutet worden und wurde 1987 von Drasin bewiesen.[3] Als weiteres Ergebnis über Nevanlinnadefekte meromorpher Funktionen endlicher Ordnung sei exemplarisch ein Ergebnis von Allen Weitsman[4] genannt, der 1972 zeigte, dass für solche Funktionen


∑aδ(a,f)1/3<∞displaystyle sum _adelta (a,f)^1/3<infty displaystyle sum _adelta (a,f)^1/3<infty

gilt.


Viele weitere Resultate zu Nevanlinnadefekten finden sich in den unten angegebenen Büchern, wobei das Buch von Goldberg und Ostrovskii einen Anhang von A. Eremenko und J. K. Langley enthält, in dem auch neuere Entwicklungen dargestellt sind.



Anwendungen |


Die Nevanlinnatheorie hat Anwendungen in verschiedenen Gebieten gefunden. So hat sie sich als wesentliches Hilfsmittel bei der Untersuchung von Differentialgleichungen und Funktionalgleichungen im Komplexen erwiesen, siehe etwa die Bücher von Jank-Volkmann und Laine.


Nevanlinna bewies als eine der ersten Anwendungen seiner Theorie folgenden Eindeutigkeitssatz:[5] Stimmen die adisplaystyle displaystyle adisplaystyle a-Stellen zweier meromorpher Funktionen fdisplaystyle displaystyle fdisplaystyle displaystyle f und gdisplaystyle displaystyle gdisplaystyle displaystyle g für 5 Werte a∈C¯displaystyle displaystyle ain overline mathbb C displaystyle displaystyle ain overline mathbb C überein, so gilt f=gdisplaystyle displaystyle f=gdisplaystyle displaystyle f=g. Dieser Satz war Ausgangspunkt für viele andere Sätze dieses Typs.


In neuerer Zeit stießen von Paul Vojta gefundene Analogien zwischen Nevanlinnatheorie und Diophantischer Approximation auf großes Interesse, vgl. das Buch von Ru.



Verallgemeinerungen |


Dieser Artikel beschränkt sich auf die klassische Theorie in einer komplexen Veränderlichen. Es gibt diverse Verallgemeinerungen, etwa auf algebroide Funktionen, holomorphe Kurven,[6] Funktionen mehrerer komplexer Veränderlicher und quasireguläre Abbildungen.[7]



Literatur |



  • A. A. Goldberg, I. V. Ostrovskii: Distribution of values of meromorphic functions. American Mathematical Society, 2008; (Übersetzung: russisches Original 1970).


  • W. K. Hayman: Meromorphic functions. Oxford University Press, 1964.

  • G. Jank, L. Volkmann: Einführung in die Theorie der ganzen und meromorphen Funktionen mit Anwendungen auf Differentialgleichungen. Birkhäuser, Basel/ Boston/ Stuttgart 1985.

  • I. Laine: Nevanlinna theory and complex differential equations. Walter de Gruyter, New York 1993.

  • R. Nevanlinna: Le théorème de Picard-Borel et la théorie des fonctions méromorphes. Gauthier-Villars, Paris 1929.

  • R. Nevanlinna: Eindeutige analytische Funktionen. Springer, Berlin 1953.


  • Min Ru: Nevanlinna theory and its relation to Diophantine approximation. World Scientific, River Edge, NJ, 2001.


Einzelnachweise |



  1. ↑ R. Nevanlinna: Zur Theorie der meromorphen Funktionen. In: Acta Mathematica. Band 46, 1925, S. 1–99.


  2. ↑ D. Drasin: The inverse problem in Nevanlinna theory. In: Acta Mathematica. Band 138, 1976, S. 83–151. Aktualisiert in: D. Drasin: On Nevanlinnas inverse problem. In: Complex Variables Theory Application. Band 37, 1998, S. 123–143.


  3. ↑ D. Drasin: Proof of a conjecture of F. Nevanlinna concerning functions which have deficiency sum two. In: Acta Mathematica. Band 158, 1987, S. 1–94.


  4. ↑ A. Weitsman: A theorem on Nevanlinna deficiencies. In: Acta Mathematica. Band 128, 1972, S. 41–52.


  5. ↑ R. Nevanlinna: Einige Eindeutigkeitssätze in der Theorie der meromorphen Funktionen. In: Acta Mathematica. Band 48, 1926, S. 367–391.


  6. ↑ H. Weyl: Meromorphic functions and analytic curves. Princeton University Press, 1943.


  7. ↑ S. Rickman: Quasiregular mappings. Springer-Verlag, Berlin 1993.


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