Pfthb

Bild einer Kugel mit Längen- und Breitenkreisen

Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche oder Kugelkörper.

Kugelfläche und Kugelkörper |

Die Kugelfläche ist die bei der Drehung einer Kreislinie um einen Kreisdurchmesser entstehende Fläche. Sie ist eine Rotationsfläche sowie eine spezielle Fläche zweiter Ordnung und wird beschrieben als die Menge (der geometrische Ort) aller Punkte im dreidimensionalen euklidischen Raum, deren Abstand von einem festen Punkt des Raumes gleich einer gegebenen positiven reellen Zahl  rdisplaystyle ! r ist. Der feste Punkt wird als Mittelpunkt oder Zentrum der Kugel bezeichnet, die Zahl  rdisplaystyle ! r als Radius der Kugel.

Die Kugelfläche teilt den Raum in zwei getrennte offene Untermengen, von denen genau eine konvex ist. Diese Menge heißt das Innere der Kugel. Die Vereinigungsmenge einer Kugelfläche und ihres Inneren heißt Kugelkörper oder Vollkugel. Die Kugelfläche wird auch Kugeloberfläche oder Sphäre genannt.

Sowohl Kugelfläche als auch Kugelkörper werden oft kurz als Kugel bezeichnet, wobei aus dem Zusammenhang klar sein muss, welche der beiden Bedeutungen gemeint ist.

Eine Kugelfläche mit Mittelpunkt ( x0displaystyle ! x_0,  y0displaystyle ! y_0,  z0displaystyle ! z_0) und Radius  rdisplaystyle ! r ist die Menge aller Punkte ( xdisplaystyle ! x,  ydisplaystyle ! y,  zdisplaystyle ! z), für die

 (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=r2displaystyle ! (x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2

erfüllt ist.

Kugelkoordinaten und kartesisches Koordinatensystem

In Vektorschreibweise mit x→=(xyz)displaystyle vec x=beginpmatrixx\y\zendpmatrix, m→=(x0y0z0)displaystyle vec m=beginpmatrixx_0\y_0\z_0endpmatrix:

(x→−m→)⋅(x→−m→)=r2displaystyle (vec x-vec m)cdot (vec x-vec m)=r^2,

(x→−m→)2=r2displaystyle (vec x-vec m)^2=r^2,

|x→−m→|2=r2vec x-vec m oder

|x→−m→|=rvec x-vec m.

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius  rdisplaystyle ! r und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:

x=r⋅sin⁡θ⋅cos⁡φdisplaystyle x=rcdot sin theta cdot cos varphi

y=r⋅sin⁡θ⋅sin⁡φdisplaystyle y=rcdot sin theta cdot sin varphi

z=r⋅cos⁡θdisplaystyle z=rcdot cos theta

mit 0≤θ≤πdisplaystyle 0leq theta leq pi und 0≤φ<2πdisplaystyle 0leq varphi <2pi .

Kugelschnitte |

• Bringt man eine Ebene mit einer Kugel zum Schnitt, entsteht immer ein Kreis. Wenn die Ebene den Mittelpunkt der Kugel enthält, nennt man die Schnittlinie Großkreis, andernfalls Kleinkreis.


• Die beiden dabei entstehenden Teilkörper heißen Kugelabschnitt oder Kugelsegment, im Falle des Großkreises Halbkugel (Hemisphäre).


• Der gekrümmte Teil der Oberfläche eines Kugelsegments wird Kugelkappe, Kugelhaube oder Kugelkalotte genannt.


• Ein Kugelsegment und der Kegel mit dem Schnittkreis als Basis und dem Kugelmittelpunkt als Spitze ergeben einen Kugelausschnitt oder Kugelsektor.


• Zwei parallele, die Kugel schneidende (nicht berührende) Ebenen schneiden aus der Kugel eine Kugelschicht heraus. Den gekrümmten Teil der Oberfläche einer Kugelschicht bezeichnet man als Kugelzone.


• Zwei sich schneidende Ebenen, deren Schnittgerade teilweise innerhalb der Kugel liegt, schneiden aus der Kugel ein Objekt, dessen gekrümmte Oberfläche das Kugelzweieck ist.


• Eine Kugelschale (Hohlkugel) ist die Differenzmenge zweier konzentrischer Kugeln mit unterschiedlichem Radius.

Formeln |

Formeln zur Kugel

Geometrische Größe	Formel
Kugelradius	rdisplaystyle ! r
Kugeldurchmesser	d=2rdisplaystyle ! d=2r
Umfang (Großkreis)	U=2πr=πd =dAPFdrdisplaystyle U=2pi r=pi d color OliveGreen=frac mathrm d A_mathrm PF mathrm d r
Volumen	V=43πr3=16πd3=∫−rr(r2−x2)πdxdisplaystyle V=frac 43pi r^3=frac 16pi d^3=int _-r^rleft(r^2-x^2right)pi mathrm d x
Oberfläche	AO=4πr2=πd2 =dVdrdisplaystyle A_O=4pi r^2=pi d^2 color OliveGreen=frac mathrm d Vmathrm d r
Projektionsfläche/Kugelquerschnitt	APF=πr2=∫0rUdrdisplaystyle A_mathrm PF =pi r^2=int _0^rUmathrm d r
Höhe (Kugelsegment/-kalotte, Kugelschicht, nicht mit dem h in der Skizze unten identisch)	hdisplaystyle ! h
Volumen einer Kugelkalotte	VKK=πh23(3r−h)displaystyle V_mathrm KK =frac pi h^23(3r-h)
Flächeninhalt einer Kugelkalotte	AKK=2πrh=2πr2(1−cos⁡α2)displaystyle A_mathrm KK =2pi rh=2pi r^2left(1-cos frac alpha 2right)
Mantelfläche einer Kugelschicht	AKS=2πrh=2πr2∫αβsin⁡xdxdisplaystyle A_mathrm KS =2pi rh=2pi r^2int _alpha ^beta sin x,mathrm d x
Trägheitsmoment einer Hohlkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)	J=23mr2displaystyle J=frac 23mr^2
Trägheitsmoment einer Vollkugel (Drehachse durch Mittelpunkt)	J=25mr2displaystyle J=frac 25mr^2

Volumen |

Das Kugelvolumen ist der Rauminhalt einer Kugel, der durch die Kugeloberfläche begrenzt wird.

Kegelherleitung (archimedische Herleitung) |

Herleitung des Kugelvolumens nach Cavalieri

Nach einer Überlegung des griechischen Mathematikers Archimedes gibt es zu einer Halbkugel mit Radius  rdisplaystyle ! r einen Vergleichskörper, dessen Volumen mit dem der Halbkugel übereinstimmt, aber einfach zu berechnen ist. Dieser Vergleichskörper entsteht dadurch, dass man aus einem Zylinder (genauer: einem geraden Kreiszylinder) mit Grundflächenradius  rdisplaystyle ! r und Höhe  rdisplaystyle ! r einen Kegel (genauer: einen geraden Kreiskegel) mit Grundflächenradius  rdisplaystyle ! r und Höhe  rdisplaystyle ! r entfernt.

Zum Nachweis, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper gleiches Volumen haben, kann man das Prinzip von Cavalieri heranziehen. Dieses Prinzip beruht auf der Idee, die betrachteten Körper in unendlich viele Scheiben infinitesimaler (unendlich kleiner) Dicke zu zerlegen. (Eine Alternative zu diesem Verfahren wäre die Anwendung der Integralrechnung.) Nach dem erwähnten Prinzip untersucht man für beide Körper die Schnittflächen mit den Ebenen, die zur jeweiligen Grundfläche parallel sind und von dieser einen vorgegebenen Abstand  hdisplaystyle ! h haben.

Im Falle der Halbkugel ist die Schnittfläche eine Kreisfläche. Der Radius  sdisplaystyle ! s dieser Kreisfläche ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras:

s2+h2=r2displaystyle s^2+h^2,=,r^2.

Damit erhält man für den Inhalt der Schnittfläche

A1=πs2=π(r2−h2)=πr2−πh2displaystyle A_1,=,pi s^2=pi (r^2-h^2)=pi r^2-pi h^2.

Im Falle des Vergleichskörpers ist die Schnittfläche dagegen ein Kreisring mit Außenradius  rdisplaystyle ! r und Innenradius  hdisplaystyle ! h. Der Flächeninhalt dieser Schnittfläche ist demzufolge

A2=πr2−πh2displaystyle A_2,=,pi r^2-pi h^2.

Für einen beliebigen Abstand  hdisplaystyle ! h zur Grundfläche stimmen die beiden Schnittflächen also im Flächeninhalt überein. Damit folgt mit dem Prinzip von Cavalieri, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.

Das Volumen des Vergleichskörpers und damit auch der Halbkugel lässt sich nun leicht berechnen:

Man subtrahiert vom Zylindervolumen das Kegelvolumen.

VZylinder=πr2⋅r=πr3displaystyle V_textZylinder=pi r^2cdot r=pi r^3

VKegel=13πr2⋅r=13πr3displaystyle V_textKegel=frac 13pi r^2cdot r=frac 13pi r^3

VHalbkugel=VVergleichskörper=πr3−13πr3=23πr3displaystyle V_textHalbkugel=V_textVergleichskörper,=pi r^3-frac 13pi r^3=frac 23pi r^3

Daher gilt für das Volumen der (Voll-)Kugel:

VKugel=2⋅VHalbkugel=43πr3displaystyle V_textKugel,=,2cdot V_textHalbkugel=frac 43pi r^3.

Alternative Herleitung |

Die Kugel kann in unendlich viele Pyramiden mit der Höhe  rdisplaystyle ! r zerteilt werden (Spitzen im Mittelpunkt der Kugel), deren gesamte Grundfläche der Oberfläche der Kugel (siehe weiter unten) entspricht. Damit beträgt das gesamte Volumen aller Pyramiden:
V=Or3=(4πr2)r3=43πr3displaystyle V=frac O,r3=frac (4pi r^2)r3=frac 43pi r^3</h4>
<p>Radius im Abstand <span class=" mwe-math-element/> xdisplaystyle ! x:

s=r2−x2{displaystyle s=sqrt r^2-x^2.

Kreisfläche im Abstand  xdisplaystyle ! x:

 Ax=πs2displaystyle ! A_x=pi s^2.

Volumen der Kugel  Vdisplaystyle ! V:

V=∫−rrAxdx=∫−rrπs2dx=∫−rr(r2−x2)πdx=∫−rrπr2dx−∫−rrπx2dxdisplaystyle V=int _-r^rA_x,mathrm d x=int _-r^rpi s^2,mathrm d x=int _-r^rleft(r^2-x^2right)pi ,mathrm d x=int _-r^rpi r^2,mathrm d x-int _-r^rpi x^2,mathrm d x

V=πr2[x]−rr−13π[x3]−rrdisplaystyle V=pi r^2left[xright]_-r^r-frac 13pi left[x^3right]_-r^r

V=πr2[r−(−r)]−13π[r3−(−r)3]=2πr3−23πr3=43πr3displaystyle V=pi r^2left[r-(-r)right]-frac 13pi left[r^3-(-r)^3right]=2pi r^3-frac 23pi r^3=frac 43pi r^3.

Auf die gleiche Art kann man das Volumen eines Kugelsegments  VKSdisplaystyle ! V_mathrm KS der Höhe  hdisplaystyle ! h berechnen:

VKS=∫r−hrAxdx=πr2[x]r−hr−13π[x3]r−hrdisplaystyle V_mathrm KS =int _r-h^rA_x,mathrm d x=pi r^2left[xright]_r-h^r-frac 13pi left[x^3right]_r-h^r

VKS=πr2[r−(r−h)]−13π[r3−(r−h)3]=πr2h−13π[r3−(r3−3r2h+3rh2−h3)]displaystyle V_mathrm KS =pi r^2left[r-(r-h)right]-frac 13pi left[r^3-(r-h)^3right]=pi r^2h-frac 13pi left[r^3-(r^3-3r^2h+3rh^2-h^3)right]

VKS=πr2h−πr2h+πrh2−13πh3=πh23(3r−h)displaystyle V_mathrm KS =pi r^2h-pi r^2h+pi rh^2-frac 13pi h^3=frac pi h^23(3r-h).

Weitere Herleitungen |

Eine Kugel mit Radius Rdisplaystyle R, deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt, lässt sich durch die Gleichung

K: x2+y2+z2≤R2displaystyle K:~x^2+y^2+z^2leq R^2

beschreiben, wobei x, y, zdisplaystyle x, y, z die Raumkoordinaten sind.

Über die Integralrechnung lässt sich dieses Problem auf zwei Arten lösen:

Wir parametrisieren die Kugel bis auf eine Lebesgue-Nullmenge durch

(xyz)=(r sin⁡ϑ cos⁡φr sin⁡ϑ sin⁡φr cos⁡ϑ)(0≤r≤R, 0≤ϑ≤π, 0≤φ≤2π)displaystyle beginpmatrixx\y\zendpmatrix=beginpmatrixr~sin vartheta ~cos varphi \r~sin vartheta ~sin varphi \r~cos vartheta endpmatrixqquad (0leq rleq R, 0leq vartheta leq pi , 0leq varphi leq 2pi ).

Mit der Funktionaldeterminante

det∂(x,y,z)∂(r,ϑ,φ)=r2sin⁡ϑdisplaystyle det frac partial (x,y,z)partial (r,vartheta ,varphi )=r^2sin vartheta

ergibt sich das benötigte Volumenelement  dVdisplaystyle ! mathrm d V als

dV=r2sin⁡ϑdrdφdϑdisplaystyle mathrm d V=r^2sin vartheta ;mathrm d r,mathrm d varphi ,mathrm d vartheta .

Das Volumen der Kugel ergibt sich daher als

∫KdV=∫0π∫02π∫0Rr2sin⁡ϑdrdφdϑ=∫0Rr2dr∫02πdφ∫0πsin⁡ϑdϑ=R33⋅2π⋅2=43πR3.displaystyle beginalignedint _Kmathrm d V&=int _0^pi int _0^2pi int _0^Rr^2sin vartheta ;mathrm d r,mathrm d varphi ,mathrm d vartheta \&=int _0^Rr^2mathrm d rint _0^2pi mathrm d varphi int _0^pi sin vartheta ;mathrm d vartheta \&=frac R^33cdot 2pi cdot 2\&=frac 43pi R^3.\endaligned

Eine weitere Möglichkeit besteht über die Polarkoordinaten:

∫KdV=∬x2+y2≤R2(∫−R2−x2−y2R2−x2−y2dz)dydx=∬x2+y2≤R22R2−x2−y2dydx.displaystyle beginalignedint _K!mathrm d V&=iint limits _x^2+y^2leq R^2left(int limits _-sqrt R^2-x^2-y^2^sqrt R^2-x^2-y^2mathrm d zright)mathrm d y,mathrm d x\&=iint limits _x^2+y^2leq R^22sqrt R^2-x^2-y^2,mathrm d y,mathrm d x.endaligned

Nun wird das kartesische Koordinatensystem in das Polarkoordinatensystem transformiert, was bedeutet, dass die Integration nach dem „Wechsel“ des Koordinatensystems mittels der Variablen φdisplaystyle !varphi und rdisplaystyle !r fortgeführt wird, anstatt wie zuvor durch xdisplaystyle !x und ydisplaystyle !y. Motivation dieser Transformation ist die erhebliche Vereinfachung der Rechnung im weiteren Verlauf. Für das Differential bedeutet das: dydx→wird zurdrdφdisplaystyle mathrm d y,mathrm d x;xrightarrow textwird zu;r,mathrm d r,mathrm d varphi (Stichwort: Flächenelement)

∫KdV=∫02π∫0R2R2−r2rdrdφ=2π∫0R2R2−r2rdr=2π(−1)23[(R2−r2)3]r=0R=43πR3.displaystyle beginalignedint _K!mathrm d V&=int limits _0^2pi int limits _0^R2sqrt R^2-r^2;r,mathrm d r,mathrm d varphi \&=2pi int limits _0^R2sqrt R^2-r^2;r,mathrm d r\&=2pi (-1)frac 23left[sqrt (R^2-r^2)^3right]_r=0^R\&=frac 43pi R^3.endaligned

Weiterer Weg mit Hilfe der Formel für Rotationskörper

Lässt man ein Flächenstück um eine feste Raumachse rotieren, erhält man einen Körper mit einem bestimmten Volumen. Bei einer Kreisfläche entsteht so eine Kugel. Anschaulich kann man sich das als eine rotierende Münze vorstellen.

Die allgemeine Formel für Rotationskörper, die um die x-Achse rotieren, ergibt

V=π∫ab[f(x)]2dx=π∫aby2dxdisplaystyle V=pi int _a^b[f(x)]^2mathrm d x=pi int _a^by^2,mathrm d x.

Die Gleichung für den Kreis ist

(x−xM)2+(y−yM)2=r2displaystyle (x-x_M)^2+(y-y_M)^2,=,r^2

mit Mittelpunkt

M=(xMyM)=(00)displaystyle M=beginpmatrixx_M\y_Mendpmatrix=beginpmatrix0\0endpmatrix.

Eingesetzt in die Gleichung für den Kreis erhalten wir

x2+y2=r2⇔y2=r2−x2displaystyle x^2+y^2=r^2Leftrightarrow y^2=r^2-x^2.

Durch Einsetzen in die Formel für Drehkörper um die x-Achse erhält man

VKugel=π∫−rr(r2−x2)dx=π[r2x−13x3]−rr=π(r3−13r3)−π(r2⋅(−r)−13(−r)3)=π[(23r3)−(−23r3)]=43πr3.displaystyle beginalignedV_textKugel&=pi int _-r^rleft(r^2-x^2right),mathrm d x\&=pi left[r^2x-frac 13x^3right]_-r^r\&=pi left(r^3-frac 13r^3right)-pi left(r^2cdot (-r)-frac 13(-r)^3right)\&=pi left[left(frac 23r^3right)-left(-frac 23r^3right)right]\&=frac 43pi r^3.\endaligned

Oberfläche |

Die Kugeloberfläche ist die zweidimensionale Fläche, die den Rand der Kugel bildet. Sie ist also die Menge aller Punkte, deren Abstand zum Kugelmittelpunkt einen festen Wert  rdisplaystyle ! r hat.
Sie ist eine geschlossene, zweidimensionale Mannigfaltigkeit.

Ihr Flächeninhalt ist A=4πr2displaystyle A,=4pi r^2 und damit gleich groß wie der der Mantelfläche des Kreiszylinders, der die Kugel umhüllt.

Die Kugel besitzt bei gegebenem Volumen die kleinste Oberfläche aller möglichen Körper.

Begründung |

Tangente an einer Kugel (Seitenansicht) d = Höhe einer Schicht; r = Radius der Kugel; c = Länge eines Feldes; x = Abstand des Tangentialpunktes von der Mittelachse

Kugelansicht

Teilt man eine Kugel auf in:

• Schichten mit einer Höhe von jeweils  ddisplaystyle ! d und


• „Meridiane“, die am Äquator ebenfalls den Abstand  ddisplaystyle ! d zueinander haben

und lässt man  ddisplaystyle ! d nach  0displaystyle ! 0 streben,

• so ist die Länge  cdisplaystyle ! c jedes Feldes umgekehrt proportional zu  xdisplaystyle ! x – also zu seinem Abstand von der Mittelachse.

Dies wird aus der oberen Zeichnung rechts deutlich:  xdisplaystyle ! x ist der Abstand des Tangentialpunktes zur Mittelachse. Die Tangente liegt senkrecht zur „Speiche“  rdisplaystyle ! r und die beiden (rechtwinkligen) Dreiecke sind einander ähnlich. Demnach gilt:

c=rx ddisplaystyle c=frac rx d.

• Die Breite jedes Feldes hingegen ist proportional zu  xdisplaystyle ! x.

Dies ergibt sich direkt aus der unteren Zeichnung, "Ansicht von oben".

Die Länge multipliziert mit der Breite ist demzufolge stets gleich groß, d. h. alle viereckigen Felder haben denselben Flächeninhalt.

Der Flächeninhalt am Äquator beträgt  d2displaystyle ! d^2 ( cddisplaystyle ! cd wobei  cdisplaystyle ! c gegen  ddisplaystyle ! d strebt, da rx displaystyle frac rx am Äquator schneller gegen  1displaystyle ! 1 strebt als  ddisplaystyle ! d gegen  0displaystyle ! 0).

Da alle Felder also den Inhalt  d2displaystyle ! d^2 haben und es insgesamt (Anzahl der Felder in horizontaler Richtung multipliziert mit der Anzahl der Felder in vertikaler Richtung, also) Umfangd⋅Durchmesserd=2πr⋅2rd2displaystyle frac textUmfangdcdot frac textDurchmesserd=frac 2pi rcdot 2rd^2 Felder gibt, beträgt der Gesamtflächeninhalt aller Felder: A=4πr2displaystyle A,=4pi r^2.

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens |

Eine Kugel kann man sich aus unendlich vielen, infinitesimalen (unendlich kleinen) Pyramiden zusammengesetzt vorstellen. Die Grundflächen dieser Pyramiden ergeben zusammen die Kugeloberfläche; die Höhen der Pyramiden sind jeweils gleich dem Kugelradius  rdisplaystyle ! r. Da das Pyramiden-Volumen durch die Formel VP=13Ghdisplaystyle V_P=tfrac 13Gh gegeben ist, gilt eine entsprechende Beziehung für das Gesamtvolumen aller Pyramiden, also das Kugelvolumen:

V=13Ordisplaystyle V=frac 13Or (O = Gesamtoberfläche der Kugel)

Wegen V=43πr3displaystyle V=tfrac 43pi r^3 ergibt sich:

43πr3=13Ordisplaystyle frac 43pi r^3=frac 13Or

 O=4πr2displaystyle ! O=4pi r^2

Alternative Herleitung mit Hilfe des Kugelvolumens und der Differentialrechnung |

Da das Kugelvolumen mit

V=43πr3displaystyle V=frac 43pi r^3

definiert ist und andererseits die Oberfläche eine Veränderung des Volumens laut

AO=dVdr=4πr2displaystyle A_O=frac mathrm d Vmathrm d r=4pi r^2

ist, ergibt sich die Oberflächenformel sofort aus der Ableitung der Volumenformel.

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung |

Aus der ersten Guldin’schen Regel

O=2π∫abf(x)1+(f′(x))2dxdisplaystyle O=2pi int limits _a^bf(x)sqrt 1+(f'(x))^2,mathrm d x

für die Mantelfläche eines Rotationskörpers ergibt sich:

O=2π∫−rrr2−x21+(−xr2−x2)2dx=2π∫−rrr2−x2r2r2−x2dx=2π∫−rrrdx=2πr∫−rr1dx=4πr2displaystyle beginalignedO&=2pi int limits _-r^rsqrt r^2-x^2sqrt 1+left(frac -xsqrt r^2-x^2right)^2,mathrm d x\&=2pi int limits _-r^rsqrt r^2-x^2sqrt frac r^2r^2-x^2,mathrm d x\&=2pi int limits _-r^rr,mathrm d x\&=2pi rint limits _-r^r1,mathrm d x\&=4pi r^2endaligned

Herleitung mit Hilfe der Integralrechnung in Kugelkoordinaten |

Für das Flächenelement auf Flächen rdisplaystyle r = konstant gilt in Kugelkoordinaten:

dA=r2sin⁡θdθdφdisplaystyle mathrm d A=r^2sin theta ,mathrm d theta ,mathrm d varphi .

Damit lässt sich die Oberfläche einfach berechnen:

O=∫02π∫0π1dA=∫02π∫0πr2sin⁡θdθdφ=2πr2∫0πsin⁡θdθ=4πr2displaystyle beginalignedO&=int limits _0^2pi int limits _0^pi 1,mathrm d A\&=int limits _0^2pi int limits _0^pi r^2sin theta ,mathrm d theta ,mathrm d varphi \&=2pi r^2int limits _0^pi sin theta ,mathrm d theta \&=4pi r^2endaligned

Eigenschaften |

Das Verhältnis des Volumens einer Kugel (VKdisplaystyle V_K) mit Radius rdisplaystyle r zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (VZdisplaystyle V_Z) ist
VK:VZ=43⋅12displaystyle V_K:V_Z=frac 43cdot frac 12; ⇒VK:VZ=2:3displaystyle Rightarrow V_K:V_Z=2:3

• Die Kugel besitzt unendlich viele Symmetrieebenen, nämlich die Ebenen durch den Kugelmittelpunkt. Ferner ist die Kugel drehsymmetrisch bezüglich jeder Achse durch den Mittelpunkt und jedes Drehwinkels und punktsymmetrisch bezüglich ihres Mittelpunktes.

• Die Kugel besitzt weder Kanten noch Ecken. Ihre Oberfläche lässt sich nicht verzerrungsfrei in der Ebene ausbreiten, siehe dazu auch den Artikel Kartennetzentwurf.


• In der Differentialgeometrie hat eine Kugel mit Radius rdisplaystyle r an jedem Punkt der Oberfläche die gaußsche Krümmung 1r2displaystyle tfrac 1r^2. Auch hieraus folgt, dass die Kugel nicht verzerrungsfrei auf die Ebene (Krümmung 0) abgebildet werden kann.


• Die kürzeste Entfernung zwischen zwei Punkten auf der Oberfläche der Kugel (Geodäte) liegt auf einem Großkreis, also einem Kreis durch den Mittelpunkt der Kugel. Geodäten auf der Erdkugel liegen zum Beispiel auf den Längenkreisen, nicht aber auf den Breitenkreisen – mit Ausnahme des Äquators.


• Durch die stereografische Projektion kann die Kugel – bis auf den „Nordpol“ – bijektiv auf die Ebene abgebildet werden. Dadurch kann z. B. der Vier-Farben-Satz auf die Kugel übertragen werden. Durch die umgekehrte Abbildung kann die Ebene bijektiv auf die Kugeloberfläche ohne „Nordpol“ abgebildet werden, der „Nordpol“ steht dann für den „unendlich fernen Punkt“. Siehe auch: projektive Geometrie als Erweiterung der affinen Geometrie durch einen Fernpunkt. In der Funktionentheorie wird auf diese Art die komplexe Zahlenebene auf die Kugel übertragen (riemannsche Zahlenkugel), sie ist damit eine kompakte riemannsche Fläche vom Geschlecht 0.


• Die Kugel hat die kleinste Oberfläche von allen Körpern mit einem vorgegebenen Volumen. Von allen Körpern mit vorgegebener Oberfläche umschließt sie das größte Volumen. Aus diesem Grund tritt die Kugel auch in der Natur auf: Blasen (siehe Seifenblase) und Wassertropfen sind Kugeln (ohne Berücksichtigung der Gravitation), weil die Oberflächenspannung versucht, die Oberfläche zu minimieren. Planeten sind näherungsweise Kugeln, weil sie bei ihrer Entstehung flüssig waren und die Kugel die Form mit der größten Gravitationsbindungsenergie ist. Die mathematische Kugel ist eine Idealform. In der Natur auftretende Kugeln haben stets nur näherungsweise Kugelform.

• Das Verhältnis des Volumens einer Kugel mit Radius rdisplaystyle r zum Volumen des umbeschriebenen Zylinders (Radius rdisplaystyle r, Höhe hdisplaystyle h = 2rdisplaystyle 2r, siehe Bild) ist 2:3displaystyle 2:3. Das, sowie die Oberflächen- und Volumenformeln waren bereits dem Griechen Archimedes in der Antike bekannt.

• Eine Kugel kann auch als Rotationskörper aufgefasst werden: Lässt man eine Halbkreisfläche um ihren Durchmesser rotieren, so entsteht dadurch eine Kugel. Wird der Kreis durch eine Ellipse ersetzt, die um eine ihrer Achsen rotiert, ergibt sich ein Rotationsellipsoid (auch Sphäroid genannt).

• Die Kugel rollt auf einer schiefen Ebene selbsttätig abwärts oder sie kann auf einer Fläche durch äußere Krafteinwirkung in allen Richtungen gerollt werden. In der Technik findet man industriell gefertigte (geschliffene) Kugeln schon seit dem 19. Jahrhundert in Rillenkugellagern.

Verallgemeinerung |

Höherdimensionale euklidische Räume |

Der Begriff der Kugel lässt sich auf Räume anderer Dimension übertragen. Analog zur dreidimensionalen Vollkugel ist für eine natürliche Zahl ndisplaystyle n eine ndisplaystyle n‑dimensionale Kugel definiert als Menge aller Punkte des ndisplaystyle n‑dimensionalen euklidischen Raumes, deren Abstand zu einem gegebenen Punkt (dem Mittelpunkt) kleiner gleich einer positiven reellen Zahl rdisplaystyle r (dem Radius) ist. Den Rand der ndisplaystyle n‑dimensionalen Kugel, also die Menge aller Punkte, deren Abstand vom Mittelpunkt gleich rdisplaystyle r ist, bezeichnet man als (n−1)displaystyle (n-1)‑dimensionale Sphäre oder kurz (n−1)displaystyle (n-1)‑Sphäre. Wenn man ohne weitere Angaben von der ndisplaystyle n‑dimensionalen Kugel spricht, meint man meist die ndisplaystyle n‑dimensionale Einheitskugel; in diesem Fall liegt der Mittelpunkt im Ursprung des Koordinatensystems und der Radius ist gleich 1.

Nach dieser Definition ist eine dreidimensionale Kugel also eine gewöhnliche Kugel; ihre Oberfläche entspricht einer 2‑Sphäre. Eine zweidimensionale Kugel ist eine Kreisfläche, der zugehörige Kreisrand eine 1‑Sphäre. Eine eindimensionale Kugel schließlich ist eine Strecke, wobei die beiden Streckenendpunkte als 0‑Sphäre aufgefasst werden können.

Hinweis: Diese Begriffe werden nicht einheitlich verwendet. Sphären im Sinne der hier gegebenen Definition werden zuweilen Kugeln genannt. Außerdem sprechen manche Autoren von ndisplaystyle n‑Sphären, wenn sie (n−1)displaystyle (n-1)‑dimensionale Sphären im ndisplaystyle n‑dimensionalen Raum meinen.

Das ndisplaystyle n-dimensionale Volumen einer ndisplaystyle n-dimensionalen Kugel mit dem Radius rdisplaystyle r ist

Vn=rnπn/2Γ(n2+1)displaystyle V_n=r^nfrac pi ^n/2Gamma (frac n2+1).

Hier ist Γdisplaystyle Gamma die Gammafunktion, eine kontinuierliche Erweiterung der Fakultät.
Den (n−1)displaystyle (n-1)‑dimensionalen Inhalt der (n−1)displaystyle (n-1)‑dimensionalen Oberfläche, also der (n−1)displaystyle (n-1)‑Sphäre erhält man durch Ableitung des Volumens nach dem Radius:

On=nrn−1πn/2Γ(n2+1)=2rn−1πn/2Γ(n2)displaystyle O_n=nr^n-1frac pi ^n/2Gamma (frac n2+1)=2r^n-1frac pi ^n/2Gamma (frac n2).

Volumen und Oberflächen von Einheitskugeln in ndisplaystyle n Dimensionen

Für eine Einheitskugel in ndisplaystyle n Dimensionen findet man also folgende Volumen und Oberflächeninhalte:

Dimensionen	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	…	2n	2n+1
Volumen	2	πdisplaystyle pi	4π3displaystyle frac 4pi 3	π22displaystyle frac pi ^22	8π215displaystyle frac 8pi ^215	π36displaystyle frac pi ^36	16π3105displaystyle frac 16pi ^3105	π424displaystyle frac pi ^424	32π4945displaystyle frac 32pi ^4945	π5120displaystyle frac pi ^5120	…	πnn!displaystyle frac pi ^nn!	2n+1πn1⋅3⋅…⋅(2n+1)displaystyle frac 2^n+1pi ^n1cdot 3cdot ldots cdot (2n+1)
Oberfläche	2	2πdisplaystyle 2pi	4πdisplaystyle 4pi	2π2displaystyle 2pi ^2	8π23displaystyle frac 8pi ^23	π3displaystyle pi ^3	16π315displaystyle frac 16pi ^315	π43displaystyle frac pi ^43	32π4105displaystyle frac 32pi ^4105	π512displaystyle frac pi ^512	…	2πn(n−1)!displaystyle frac 2pi ^n(n-1)!	2n+1πn1⋅3⋅…⋅(2n−1)displaystyle frac 2^n+1pi ^n1cdot 3cdot ldots cdot (2n-1)

Eine ndisplaystyle n-Sphäre ist ein Beispiel einer kompakten ndisplaystyle n-Mannigfaltigkeit.

Metrische Räume |

Den Begriff der Kugel kann man auf alle Räume verallgemeinern, in denen man einen Abstandsbegriff hat, das sind die metrischen Räume.

Ist (X,d)displaystyle (X,d) ein metrischer Raum, a∈Xdisplaystyle ain X und r∈Rdisplaystyle rin mathbb R , r>0displaystyle r>0, so nennt man

B(a,r)=x∈X∣d(a,x)<rdisplaystyle B(a,r)=xin Xmid d(a,x)<r

die offene Kugel mit Mittelpunkt adisplaystyle a und Radius rdisplaystyle r.^[1]
Die Menge:

B¯(a,r)=x∈X∣d(a,x)≤rdisplaystyle overline B(a,r)=xin Xmid d(a,x)leq r

heißt abgeschlossene Kugel.

Manche Autoren schreiben auch U(a,r)displaystyle U(a,r) für die offenen und B(a,r)displaystyle B(a,r) für die abgeschlossenen Kugeln.^[2] Andere Schreibweisen für die offenen Kugeln sind Br(a)displaystyle B_r(a) und Ur(a)displaystyle U_r(a).

Symbolik |

Die Kugelform gilt seit altersher als „vollkommene Form“. Erst seit dem Aufkommen der Drechseltechniken war sie – zumindest aus Holz oder weichem Stein – nahezu perfekt herzustellen. Später wurde sie zu einem Sinnbild der Unendlichkeit (manchmal auch des Kosmos). Mit dem Aufkommen von Feuerwaffen wurden Kanonen- und Gewehrkugeln immer mehr auch zu einem Inbegriff von Stärke und Macht (siehe auch: Kugel (Heraldik)).

Siehe auch |

• Großkreis


• Sphäre


• 
  Sphärische Geometrie • Sphärische Trigonometrie
  


• 
  Kugelzweieck • Kugeldreieck
  


• 
  Kugelsegment • Kugelausschnitt • Kugelschicht
  


• Kugel (Darstellende Geometrie)


• Einheitskugel

Literatur |

• Yann Rocher (hrsg.), Globes. Architecture et sciences explorent le monde, Norma/Cité de l'architecture, Paris, 2017.


• Rainer Maroska, Achim Olpp, Claus Stöckle, Hartmut Wellstein: Schnittpunkt 10. Mathematik. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1997, ISBN 3-12-741050-6. 
  


• Fischer/Kaul, Mathematik für Physiker, Springer, 4. Auflage, ISBN 978-3-662-53968-2
  

Weblinks |

 Wiktionary: Kugel – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

 Commons: Kugel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

 Wikiquote: Kugel – Zitate

• Alles zum Thema Kugel
  


• 
  Java-Applet zum Kugelvolumen (erfordert Installation von Java 1.4)


• Herleitung der Volumenformel für Kugeln mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1976, Definition 1.3. 3. Auflage 2001, ISBN 3-540-67790-9.
   


2. 
   ↑ Herbert Federer: Geometric Measure Theory. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1969, 2.8.1.