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Die Dirac-Gleichung ist eine grundlegende Gleichung der relativistischen Quantenmechanik. Sie beschreibt die Eigenschaften und das Verhalten eines fundamentalen Fermions mit Spin 1/2 (zum Beispiel Elektron, Quark). Sie wurde 1928 von Paul Dirac entwickelt^[1] und erfüllt im Gegensatz zur Schrödingergleichung die Anforderungen der speziellen Relativitätstheorie.

Die Dirac-Gleichung ist eine partielle Differentialgleichung erster Ordnung sowohl in den drei Raumkoordinaten als auch in der Zeit, im Einklang mit der von der speziellen Relativitätstheorie geforderten Invarianz unter Lorentz-Transformationen. Im nichtrelativistischen Grenzfall (vc→0displaystyle tfrac vcto 0) geht sie in die Pauli-Gleichung über, die im Gegensatz zur Schrödingergleichung noch die Spin-Bahn-Kopplung und weitere Terme enthält. Jede Lösung der Dirac-Gleichung entspricht einem möglichen Zustand des betreffenden Teilchens, mit der Besonderheit, dass zur Darstellung dieses Zustands vier räumliche Wellenfunktionen nötig sind (s. Dirac-Spinor), statt zwei in der nichtrelativistischen Theorie mit Spin oder einer einzigen im Fall von spinlosen Teilchen. Für die von der Dirac-Gleichung beschriebenen Teilchen gilt:

• Für ein freies Teilchen ist die relativistische Energie-Impuls-Beziehung E=m2c4+p2c2displaystyle E=sqrt m^2c^4+p^2c^2 erfüllt.

• Für ein Teilchen im elektrostatischen Feld einer Punktladung ergibt sich das Wasserstoffspektrum mit seiner Feinstruktur.

• Das Teilchen hat einen Eigendrehimpuls (Spin), der die Quantenzahl 1/2 hat und – weil dies in der klassischen Physik nicht vorkommt – nicht wie bei einem Kreisel auf die Rotation einer Massenverteilung zurückgehen kann.

• Trägt das Teilchen eine elektrische Ladung, so ist mit dem Spin stets auch ein magnetisches Dipolmoment verknüpft (→ Spinmagnetismus). Im Vergleich mit dem magnetischen Dipol, den das Teilchen durch eine Rotationsbewegung bei gleich großem Drehimpuls hervorrufen würde (→ orbitaler Magnetismus), hat das mit dem Spin verbundene Moment die doppelte Stärke (s. Anomales magnetisches Moment des Elektrons).

• Zu dem Teilchen existiert ein Antiteilchen (zum Elektron also ein sog. Positron) mit derselben Masse und demselben Spin, aber mit entgegengesetzter Ladung und magnetischem Moment.

Alle genannten Eigenschaften entsprechen den experimentellen Befunden. Zur Zeit der Entdeckung der Dirac-Gleichung 1928 waren die vier erstgenannten schon bekannt, nicht aber ihre gemeinsame Grundlage. Die letztgenannte Eigenschaft wurde durch die Dirac-Gleichung vorhergesagt, und der erste Nachweis eines Antiteilchens gelang 1932 Carl David Anderson^[2] (s. Positron).

Der in der Diracgleichung vorkommende Differentialoperator spielt auch in der Mathematik (Differentialgeometrie) eine große Rolle (Dirac-Operator).

Dirac-Gleichung eines ungeladenen Teilchens |

Die Dirac-Gleichung ist ein System von vier gekoppelten partiellen Differentialgleichungen für die vier Komponentenfunktionen des Dirac-Spinors ψ(x)displaystyle psi (x). Die Variable xdisplaystyle x steht hier für x=(x0,x1,x2,x3),displaystyle x=(x^0,x^1,x^2,x^3),, worin der obere Index 0 die Zeit t=x0displaystyle t=x^0 und die Indizes 1 bis 3 die Ortskoordinaten (x1,x2,x3)displaystyle (x^1,x^2,x^3) bezeichnen.

In natürlichen Maßeinheiten mit c=1=ℏdisplaystyle c=1=hbar lautet die Dirac-Gleichung für ein ungeladenes Teilchen der Masse mdisplaystyle m

[i∑μ=03γμ∂∂xμ−m]ψ(x)=0.displaystyle left[mathrm i sum _mu =0^3gamma ^mu frac partial partial x^mu -mright],psi (x)=0,.

Der Ausdruck in eckigen Klammern ist die Standardform eines Dirac-Operators.

Die konstanten Gamma- oder Dirac-Matrizen γ0,γ1,γ2displaystyle gamma ^0,gamma ^1,gamma ^2 und γ3displaystyle gamma ^3 wirken im Raum der vier Komponenten des Spinors und koppeln sie aneinander. Die Produkte von zwei Gamma-Matrizen haben die folgenden Eigenschaften:

γμγν=−γνγμ(μ,ν∈0,1,2,3,μ≠ν),displaystyle gamma ^mu ,gamma ^nu =-gamma ^nu ,gamma ^mu quad (,mu ,nu in 0,1,2,3,,mu neq nu ),

γ0γ0=−γ1γ1=−γ2γ2=−γ3γ3=1displaystyle gamma ^0gamma ^0=-gamma ^1gamma ^1=-gamma ^2gamma ^2=-gamma ^3gamma ^3=1

Damit bilden sie eine Clifford- oder Dirac-Algebra. Wird der Dirac-Operator

i∑μ=03γμ∂∂xμ+mdisplaystyle mathrm i sum _mu =0^3gamma ^mu frac partial partial x^mu +m

auf beide Seiten der Dirac-Gleichung angewandt, entkoppeln die vier Differentialgleichungen und man erhält für jede Komponente von ψdisplaystyle psi die Klein-Gordon-Gleichung:

[∂2(∂x0)2−∂2(∂x1)2−∂2(∂x2)2−∂2(∂x3)2+m2]ψ(x)=0displaystyle Bigl [frac partial ^2(partial x^0)^2-frac partial ^2(partial x^1)^2-frac partial ^2(partial x^2)^2-frac partial ^2(partial x^3)^2+m^2Bigr ],psi (x)=0

Die zweimalige Anwendung eines Dirac-Operators führt also auf die Klein-Gordon-Gleichung, weshalb die Dirac-Gleichung auch als die „Wurzel“ aus der Klein-Gordon-Gleichung angesehen wird. Für ein Teilchen in einem Impulseigenzustand ergibt die Klein-Gordon-Gleichung (in der Reihenfolge ihrer Terme) −E2+p→2+m2=0displaystyle -E^2+vec p^,2+m^2=0, also die relativistische Energie-Impuls-Beziehung eines Teilchens der Masse m.displaystyle m,.

Jede irreduzible Darstellung der Dirac-Algebra besteht aus 4×4displaystyle 4times 4-Matrizen. In der Standard- oder Dirac-Darstellung haben sie die folgende Form (verschwindende Matrixelemente mit Wert Null sind dabei nicht angeschrieben):

γ0=(11−1−1),γ1=(11−1−1),γ2=(−iii−i),γ3=(1−1−11).displaystyle beginarrayc cgamma ^0=beginpmatrix1&&&\&1&&\&&-1&\&&&-1endpmatrix,,&gamma ^1=beginpmatrix&&&1\&&1&\&-1&&\-1&&&endpmatrix,,\,&,\gamma ^2=beginpmatrix&&&-mathrm i \&&mathrm i &\&mathrm i &&\-mathrm i &&&endpmatrix,,&gamma ^3=beginpmatrix&&1&\&&&-1\-1&&&\&1&&endpmatrix,.endarray

Die beiden ersten Komponenten von γ0displaystyle gamma _0 bilden also die zweikomponentige Einheitsmatrix, die beiden letzten Komponenten deren Negatives. Analog ergeben die beiden oberen Komponenten der zweiten, dritten bzw. vierten γdisplaystyle gamma -Matrix die drei 2×2-Pauli-Matrizen σjdisplaystyle sigma _j und die beiden letzten Komponenten von γjdisplaystyle gamma _j deren Negatives. Letztere gehen im nichtrelativistischen Grenzfall wie v/cdisplaystyle v/c gegen Null. Damit eignet sich diese Darstellung, die Standarddarstellung, besonders für die Behandlung langsam bewegter Elektronen. In der dazu mathematisch und physikalisch äquivalenten Weyl-Darstellung ist das Spinor-Transformationsverhalten bei Lorentztransformationen besonders einfach, in der ebenfalls äquivalenten Majorana-Darstellung ist die Dirac-Gleichung ein reelles Gleichungssystem. Weitere Darstellungen erhält man durch Äquivalenztransformationen.

Die vier Gamma-Matrizen lassen sich in symbolischer Schreibweise zu dem kontravarianten 4-Vektor

γμ=(γ0γ1γ2γ3)displaystyle gamma ^mu =beginpmatrixgamma ^0\gamma ^1\gamma ^2\gamma ^3endpmatrix

zusammenfassen. Dann hat der erste Term der Dirac-Gleichung die Form eines Skalarprodukts der Vektoren γμdisplaystyle gamma ^mu und ∂∂xμdisplaystyle frac partial partial x^mu . Dieses ist bei Lorentztransformation jedoch nicht invariant, denn γμdisplaystyle gamma ^mu bleibt konstant. Die Lorentzinvarianz der Dirac-Theorie ergibt sich erst dadurch, dass der Dirac-Operator auf einen Spinor ψdisplaystyle psi wirkt, dessen vier Komponenten geeignet mittransformiert werden. Im Endergebnis geht damit eine Lösung ψ(x)displaystyle psi (x) der Dirac-Gleichung durch Lorentztransformation in eine Lösung der entsprechend transformierten Dirac-Gleichung über.

Impulsraum und Slash-Notation |

Neben der eben beschriebenen Form im Ortsraum kann die Dirac-Gleichung auch im Impulsraum aufgeschrieben werden. Sie lautet dann

[γμpμ−m]ψ(p)=0,displaystyle Bigl [gamma ^mu p_mu -mBigr ],psi (p)=0,,

wobei zur Abkürzung die einsteinsche Summenkonvention benutzt wurde (die besagt, dass über gleiche Indizes summiert wird). In der noch weiter vereinfachten Feynman-Slash-Notation wird das Skalarprodukt mit den Gamma-Matrizen durch ein Slash-Symbol ausgedrückt. Es ergibt sich im Ortsraum

[i∂/ −m]ψ(x)=0,displaystyle Bigl [ipartial !!!/ -mBigr ],psi (x)=0,,

und im Impulsraum gilt

[p/ −m]ψ(p)=0.displaystyle Bigl [p!!!/ -mBigr ],psi (p)=0,.

Eichinvarianz und elektromagnetische Wechselwirkung |

Wenn ψ(x)displaystyle psi (x) die Dirac-Gleichung löst, dann löst auch der mit einer Phase αdisplaystyle alpha multiplizierte Spinor eiqαψdisplaystyle mathrm e ^mathrm i ,q,alpha ,psi die Dirac-Gleichung. Da alle physikalisch messbaren Größen mit jedem Faktor ψdisplaystyle psi auch den konjugiert komplexen Faktor ψ∗displaystyle psi ^* enthalten, sind sie und die Dirac-Gleichung invariant unter dieser Phasentransformation des Dirac-Spinors ψdisplaystyle psi .

Bei nichtkonstantem αdisplaystyle alpha ergibt das eine zusätzliche U(1)-Eichinvarianz, und die partiellen Ableitungen müssen durch sog. kovariante Ableitungen ersetzt werden: Aus der Forderung der Invarianz unter allen Phasentransformationen, die stetig-differenzierbar von Zeit und Ort abhängen,

ψ′(x)=eiqα(x)ψ(x),displaystyle psi ^prime (x)=mathrm e ^mathrm i ,q,alpha (x),psi (x),, ergibt sich die Notwendigkeit, die

partiellen Ableitungen in der Dirac-Gleichung durch eine sogenannte kovariante Ableitung zu ersetzen:

Dμ=∂∂xμ+iqAμdisplaystyle D_mu =frac partial partial x^mu +mathrm i ,q,A_mu

Die hier auftretenden vier Funktionen Aμdisplaystyle A_mu bilden in der Physik das sog. Viererpotential oder Eichfeld. Mathematisch handelt es sich um eine Konnexion oder einen Zusammenhang. Definiert man das transformierte Eichfeld durch

Aμ′=Aμ−∂α(x)∂xμ,displaystyle A_mu ^prime =A_mu -frac partial alpha (x)partial x^mu ,,

dann löst ψdisplaystyle psi die Dirac-Gleichung mit dem Eichfeld Aμdisplaystyle A_mu

(i∑μ=03γμ∂∂xμ−q∑μ=03γμAμ−m)ψ(x)=0displaystyle Bigl (mathrm i sum _mu =0^3gamma ^mu frac partial partial x^mu -q,sum _mu =0^3gamma ^mu A_mu -mBigr ),psi (x)=0

oder in Slash-Notation

(i∂/ −qA/ −m)ψ(x)=0displaystyle bigl (mathrm i partial !!!/ -q,A!!!/ -mbigr ),psi (x)=0

genau dann, wenn der transformierte Dirac-Spinor die Dirac-Gleichung mit dem transformierten Eichfeld erfüllt. Transformationen, deren Parameter so wie hier die Phase α(x)displaystyle alpha (x) beliebig von Zeit und Ort abhängen dürfen, heißen in der Physik lokale Eichtransformationen.

Bei dem Eichfeld handelt es sich um das skalare Potential ϕdisplaystyle phi und das Vektorpotential A→displaystyle vec A der Elektrodynamik,

(A0,A1,A2,A3)=(ϕ,−Ax,−Ay,−Az).displaystyle (A_0,A_1,A_2,A_3)=(phi ,-A_x,-A_y,-A_z),.

Wenn man sie wie angegeben transformiert, bleiben die elektrische und magnetische Feldstärke

E→=−∇→ϕ−∂A→∂tsowieB→=rot⁡A→displaystyle vec E=-vec nabla phi -frac partial vec Apartial tquad mboxsowiequad vec B=operatorname rot vec A

und alle anderen messbaren Größen unverändert.

Die Dirac-Gleichung mit kovarianter Ableitung und die Elektrodynamik sind invariant unter beliebigen zeit- und ortsabhängigen Transformationen der Phase des Dirac-Spinors. Der Parameter qdisplaystyle q in der kovarianten Ableitung bestimmt die Stärke der Ankopplung der elektromagnetischen Potentiale an den Dirac-Spinor. Er entspricht dabei genau der elektrischen Ladung des Teilchens.

Die Ersetzung der partiellen Ableitungen in der Dirac-Gleichung durch eine kovariante Ableitung koppelt die elektromagnetischen Potentiale an den Dirac-Spinor. Man spricht dabei von sog. minimaler Kopplung im Gegensatz zu einem Kopplungsterm wie „magnetische Feldstärke mal Dirac-Spinor“, der auch eichinvariant wäre, aber nicht zur Ergänzung einer Ableitung zu einer kovarianten Ableitung erforderlich ist.

Schrödingerform |

Nach Multiplikation mit γ0displaystyle gamma ^0 kann man wegen (γ0)2=1displaystyle (gamma ^0)^2=1 in der Dirac-Gleichung nach der Zeitableitung auflösen und die Dirac-Gleichung in die Form einer Schrödinger-Gleichung bringen,

i∂∂tψ=HDiracψdisplaystyle mathrm i frac partial partial t,psi =H_textDiracpsi

HDirac=∑k=13αk(−i∂∂xk−qAk)+γ0m+qϕ.displaystyle H_textDirac=sum _k=1^3alpha ^k(-mathrm i frac partial partial x^k-qA^k)+gamma ^0m+qphi .

Die hier auftretenden 4×4-Matrizen, die leicht von den entsprechenden γdisplaystyle gamma -Matrizen verschieden sind, αk=γ0γk,displaystyle alpha ^k=gamma ^0,gamma ^k, lassen sich ebenfalls kompakt mit Hilfe der Pauli-Matrizen durch Blöcke von 2×2-Matrizen σ2×2kdisplaystyle sigma _2times 2^k beschreiben:

αk=(σ2×2kσ2×2k),k∈1,2,3,γ0=(12×2−12×2).displaystyle alpha ^k=beginpmatrix&sigma _2times 2^k\sigma _2times 2^k&endpmatrix,,,kin 1,2,3,,quad gamma ^0=beginpmatrix1_2times 2&\&-1_2times 2endpmatrix,.

Der Differentialoperator auf der rechten Seite der Schrödinger-Gleichung ist der zur Dirac-Gleichung gehörige Hamiltonoperator HDirac.displaystyle H_textDirac,. Die möglichen Energien des Teilchens sind Eigenwerte dieses Hamiltonoperators.

Dabei zeigt die mathematische Untersuchung im Fall eines ungeladenen Teilchens (q=0displaystyle q=0), dass das Spektrum positive und negative Werte enthält, ebenso wie man aus der Energie-Impuls-Relation der Klein-Gordon-Gleichung E2−p→2=m2displaystyle E^2-vec p^,2=m^2 (in natürlichen Maßeinheiten mit c=1=ℏdisplaystyle c=1=hbar ) die positiven und negativen Energiewerte E=±m2+p→2displaystyle E=pm sqrt m^2+vec p^,2 erhält.

Da Teilchen mit negativer Energie nie beobachtet wurden und da eine Welt mit Teilchen, deren Energien nach oben und nach unten unbeschränkt ist, instabil wäre, postulierte Dirac, dass das Vakuum ein Dirac-See sei, in dem jeder denkbare Zustand negativer Energie schon besetzt sei, sodass weitere Elektronen nur positive Energien annehmen könnten. Füge man diesem Dirac-See genügend Energie, mindestens die Ruheenergie zweier Elektronen, hinzu, so könne man einem See-Elektron positive Energie verleihen und das entstehende Loch verhielte sich wie ein Zustand mit der restlichen, ebenfalls positiven Energie und der fehlenden, entgegengesetzten Ladung. So sagte Dirac die Existenz von Antiteilchen und die Paarerzeugung von Elektron-Positron-Paaren voraus, die ein Jahr später beobachtet wurden.

Die Vorstellung eines Dirac-Sees gilt allerdings heute als unhaltbar^[3] und ist durch die Feynman-Stückelberg-Interpretation ersetzt. Sie deutet die Dirac-Gleichung als Gleichung für ein Quantenfeld ψ(x)displaystyle psi (x), das ist mathematisch ein Operator, der in den quantenmechanischen Zuständen Teilchen oder Antiteilchen erzeugt oder vernichtet. Die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen während der Wechselwirkung des Elektrons mit dem Proton führt in der Quantenelektrodynamik zu einer kleinen Verschiebung der Energien verschiedener Zustände des Wasserstoffatoms, die ohne diese Erzeugungs- und Vernichtungsvorgänge gleiche Energie hätten. Die berechnete Größe dieser Lamb-Verschiebung stimmt innerhalb der Messgenauigkeit von sechs Stellen mit dem gemessenen Wert überein.

Die Erzeugung und Vernichtung von Teilchen während der Wechselwirkung des Elektrons mit einem Magnetfeld ändert auch den Dirac-Wert g=2displaystyle g=2 des gyromagnetischen Faktors. Sie bewirkt ein sogenanntes anomales magnetisches Moment, von dem man auch als g-2-Anomalie spricht. Der in der Quantenelektrodynamik berechnete Wert von gdisplaystyle g stimmt mit dem gemessenen Wert auf zehn Dezimalstellen überein.

Herleitung des gyromagnetischen Faktors |

Wir gehen von der Schrödingerform der Dirac-Gleichung für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld aus und spalten den Spinor in zwei Zweierspinoren auf. Dabei verwenden wir die Summationskonvention und schreiben die zu einem Indexpaar gehörige Summe nicht aus,

i∂t(φ1φ2)=(σkπkφ2σkπkφ1)+qϕ(φ1φ2)+m(φ1−φ2)displaystyle mathrm i ,partial _t,beginpmatrixvarphi _1\varphi _2endpmatrix=beginpmatrixsigma ^k,pi ^k,varphi _2\sigma ^k,pi ^k,varphi _1endpmatrix+q,phi ,beginpmatrixvarphi _1\varphi _2endpmatrix+m,beginpmatrixvarphi _1\-varphi _2endpmatrix   mit   πk=−i∂xk−qAk.displaystyle pi ^k=-mathrm i partial _x^k-q,A^k,.

Wir unterstellen, dass sich das Teilchen nur langsam bewegt, sodass seine Energie nur wenig größer als die Ruheenergie ist. Das heißt, dass nach Abspalten der schnellen Zeitentwicklung, die von der Ruheenergie herrührt,

(φ1φ2)=e−imt(φχ),displaystyle beginpmatrixvarphi _1\varphi _2endpmatrix=mathrm e ^-mathrm i ,m,tbeginpmatrixvarphi \chi endpmatrix,,

die Zeitableitungen der Zweierspinoren φdisplaystyle varphi und χdisplaystyle chi klein sind,

i∂t(φχ)=(σkπkχσkπkφ)+qϕ(φχ)+(0−2mχ).displaystyle mathrm i ,partial _t,beginpmatrixvarphi \chi endpmatrix=beginpmatrixsigma ^k,pi ^k,chi \sigma ^k,pi ^k,varphi endpmatrix+q,phi ,beginpmatrixvarphi \chi endpmatrix+beginpmatrix0\-2,m,chi endpmatrix,.

In der zweiten Zeile ist nach Annahme die Zeitableitung klein und die kinetischen Energien und die elektrostatische Energie sind klein gegen die Ruheenergie m.displaystyle m,. Daher ist χdisplaystyle chi klein gegen φdisplaystyle varphi und ungefähr gleich

χ≈σkπkφ2m.displaystyle chi approx frac sigma ^k,pi ^k,varphi 2,m,.

In die erste Zeile eingesetzt ergibt sich

i∂tφ=(σkπk)22mφ+qϕφ.displaystyle mathrm i ,partial _t,varphi =frac (sigma ^k,pi ^k)^22,m,varphi +q,phi ,varphi ,.

Für das Produkt der Pauli-Matrizen erhält man

(σkπk)2=σiσjπiπj=(δij+iεijkσk)πiπj=π→2−qσkBk.displaystyle (sigma ^k,pi ^k)^,2=sigma ^i,sigma ^jpi ^ipi ^j=(delta ^ij+mathrm i varepsilon ^ijksigma ^k)pi ^ipi ^j=vec pi ^2-q,sigma ^k,B^k,.

Der Spinor φdisplaystyle varphi genügt daher der Pauli-Gleichung mit dem nichtklassischen Wert g=2,displaystyle g=2,,

i∂tφ=π→22mφ+qϕφ−gq2mSkBkφ.displaystyle mathrm i ,partial _t,varphi =frac vec pi ^22,m,varphi +q,phi ,varphi -g,frac q2,m,S^k,B^k,varphi ,.

Dabei sind Sk=σk2displaystyle S^k=tfrac sigma ^k2 die Komponenten des Spin-Operators.

Im homogenen Magnetfeld gilt ϕ=0,A→=12B→×x→displaystyle phi =0,,,vec A=frac 12,vec Btimes vec x, und mit pk=−i∂xkdisplaystyle p^k=-mathrm i ,partial _x^k

(p→−qA→)2=p→2−qx→×p→⋅B→=p→2−qL→⋅B→,displaystyle (vec p-qvec A)^2=vec p^,2-q,vec xtimes vec pcdot vec B=vec p^,2-q,vec Lcdot vec B,,

wenn man Terme vernachlässigt, die quadratisch in B→displaystyle vec B sind. Dann besagt die Pauli-Gleichung

i∂tφ=p→22mφ−q2m(L→+gS→)⋅B→φ.displaystyle mathrm i ,partial _t,varphi =frac vec p^,22,m,varphi -frac q2,m,(vec L+g,vec S)cdot vec B,varphi ,.

Das Magnetfeld koppelt folglich nicht nur an den Bahndrehimpuls L→displaystyle vec L und trägt nicht nur
−qℏ2mL→ℏ⋅B→displaystyle -tfrac q,hbar 2,m,tfrac vec Lhbar cdot vec B
zur Energie bei. Der Faktor
qℏ2mdisplaystyle tfrac q,hbar 2,m
ist das Magneton des Teilchens. In Drehimpulseigenzuständen ist
L→ℏ⋅B→displaystyle tfrac vec Lhbar cdot vec B
ein ganzzahliges Vielfaches der Magnetfeldstärke |B→|vec B. Dagegen ergibt S→ℏ⋅B→displaystyle tfrac vec Shbar cdot vec B ein halbzahliges Vielfaches, das erst nach Multiplikation mit gdisplaystyle g ganzzahlig wird.^[4]

Realisierungen in Hochenergie- und Festkörperphysik |

Die Dirac-Gleichung bildet (nach Quantisierung des zugehörigen klassischen Feldes)^[5] die Grundlage der relativistischen Quantenfeldtheorien der Hochenergiephysik. Erst seit wenigen Jahren^[6] weiß man, dass auch bei nichtrelativistischen Energien Realisierungen existieren, nämlich bei Graphenen, das sind Schichtsysteme, die mit Graphit zusammenhängen. Und zwar braucht man hier nur den Grenzwert verschwindender Masse (sog. chiraler Limes) m=0displaystyle m=0 zu betrachten, und es ist zusätzlich die Lichtgeschwindigkeit cdisplaystyle c durch die Grenzgeschwindigkeit vFdisplaystyle v_F des Elektronensystems, die sog. Fermi-Geschwindigkeit zu ersetzen. Als Konsequenz sind bei diesem System Energie Edisplaystyle E und Impuls pdisplaystyle p zueinander proportional, E∼pdisplaystyle Esim p während sonst bei nichtrelativistischen Elektronen E∼p2displaystyle Esim p^2 gilt. Darüber hinaus ergeben sich zahlreiche weitere Besonderheiten.^[6]

Siehe auch |

• Dirac-Matrizen


• Landé-Faktor


• Pauli-Gleichung


• Zitterbewegung

Einzelnachweise und Fußnoten |

1. 
   ↑ PAM Dirac: The Quantum Theory of the Electron. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. A, Nr. 778, 1928, S. 610–624, doi:10.1098/rspa.1928.0023 (Online). 
   


2. 
   ↑ C. D. Anderson: The Positive Electron. In: Physical Review. Band 43, Nr. 6, 1933, S. 491–494, doi:10.1103/PhysRev.43.491 (Online). 
   


3. 
   ↑ J. Schwinger: A Report on Quantum Electrodynamics. In: The Physicist’s Conception of Nature. Reidel, Dordrecht 1973, S. 415.
   


4. 
   ↑ Bei isolierten Atomen oder Ionen muss man den Gesamt-Bahndrehimpuls und den Gesamt-Spindrehimpuls des Atoms bzw. Ions zu einem Gesamtdrehimpuls J (= L+S) addieren und erhält den sog. Landé-Faktor g(L, S; J). Dieser ist 1 bei reinem Gesamt-Bahndrehimpuls und 2 bei reinem Gesamt-Spindrehimpuls, und hat sonst von 1 und 2 verschiedene Werte. Wenn ferner die betroffenen Atome in einen Festkörper eingebaut sind, erhält man Zusatzbeiträge, die gdisplaystyle g wesentlich verändern können. Der Ferro- und Paramagnetismus typischer Repräsentanten ferromagnetischer oder paramagnetischer fester Körper bzw. paramagnetischer Moleküle ist trotzdem meist überwiegend Spinmagnetismus, weil experimentell sehr oft g∼2displaystyle gsim 2 gemessen wird.
   


5. 
   ↑ Oft spricht man von zweiter Quantisierung.
   


6. 
   ↑ ^ab Siehe den Artikel Graphen.
   

Literatur |

Artikel |

• P. A. M. Dirac: The Quantum Theory of the Electron. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Band 117, Nr. 778, 1. Januar 1928, S. 610–624, doi:10.1098/rspa.1928.0023. 
  


• P. A. M. Dirac: The Quantum Theory of the Electron. Part II. In: Royal Society of London Proceedings Series A. Band 118, 1. Februar 1928, S. 351–361. 
  


• P. A. M. Dirac: A Theory of Electrons and Protons. In: Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. Band 126, Nr. 801, 1930, S. 360–365, JSTOR:95359. 
  


• 
  Carl D. Anderson: The Positive Electron. In: Physical Review. Band 43, Nr. 6, 15. Februar 1933, S. 491–494, doi:10.1103/PhysRev.43.491. 
  

Bücher |

• 
  James Bjorken, Sidney Drell: Relativistische Quantenmechanik. Mannheim, Bibliographisches Institut, 1990. (BI Hochschultaschenbücher; 98/98a), ISBN 3-411-00098-8.
  Engl. Originalausgabe: Relativistic Quantum Mechanics. McGraw-Hill, New York 1964, ISBN 0-07-005493-2.


• 
  James Bjorken, Sidney Drell: Relativistische Quantenfeldtheorie. (Dt. Übers.: J. Benecke, D. Maison, E. Riedel).
  Unveränd. Nachdruck: Mannheim, Zürich. BI-Wissenschaftsverlag, 1993. BI-Hochschultaschenbuch; 101, ISBN 3-411-00101-1.
  Engl. Originalausgabe: Relativistic Quantum Fields. McGraw-Hill, New York 1965, ISBN 0-07-005494-0.


• 
  R. P. Feynman: Quantenelektrodynamik. 4. Auflage, ISBN 3-486-24337-3.


• 
  Walter Greiner: Relativistische Quantenmechanik. Wellengleichungen. Band 6, ISBN 3-8171-1022-7.


• 
  Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). ISBN 978-3-540-25904-6.