Pfthb

Die Kirchtürme sind etwa 17 km Luftlinie voneinander entfernt und durch eine Staatsgrenze getrennt:
vorne rechts die katholische Kirche St. Jakobus in Schutterwald (Deutschland), hinten links das Münster in Straßburg (Frankreich).
Das Foto wurde aus einer Entfernung von ca. 5 km zu Schutterwald aufgenommen.

Als Luftlinie bezeichnet man die kürzeste Entfernung zweier Punkte in der Landschaft über den direkten Luftweg, wenn die beiden Punkte in Sichtweite liegen. In diesem Fall handelt es sich
bei der Luftlinie also um eine Strecke (die gegebenenfalls auch größere Höhenunterschiede im Gelände überwindet, beispielsweise in den Bergen).

Der kürzeste Weg auf der Erdoberfläche zwischen Punkt A und B ist eine Orthodrome.

Bei größeren Entfernungen lässt die Luftlinie die Geländekontur – also Erhebungen, Täler und Höhenunterschiede – unberücksichtigt, bezieht jedoch die Kugelgestalt der Erde mit ein. In diesem Fall verläuft die Luftlinie „horizontal“ und folgt der Erdkrümmung; mathematisch betrachtet entspricht die Luftlinie hier also einem Kreisbogen, der auf einem Großkreis um den Erdmittelpunkt liegt (vergleiche sphärische Trigonometrie). Bei der Projektion solcher Strecken auf ebene Karten entstehen im Allgemeinen keine Geraden mehr, sondern Kurven, die aber immer noch den kürzesten Abstand zwischen zwei Punkten repräsentieren. So verläuft die Luftlinie zwischen New York und Berlin beispielsweise durch Schottland.^[1] In der Geometrie und der Navigation spricht man daher präziser von der Orthodrome statt von einer Luftlinie.^[2][3]

Eine Kartenprojektion, bei der Großkreise (und damit die Luftlinien zwischen zwei Punkten) stets als Geraden abgebildet werden, ist die gnomonische Projektion.

Berechnung für die Erdkugel |

Die Erde kann in guter Näherung als eine Kugel betrachtet werden. Zur Vereinfachung kann der Radius der Kugel als Eins angenommen werden. Aus der geografischen Breite φdisplaystyle varphi und der geografischen Länge λdisplaystyle lambda eines Punktes Pdisplaystyle P errechnen sich die kartesischen Koordinaten (x,y,z)displaystyle (x,y,z) – mit der zdisplaystyle z-Achse in Richtung der Erdachse – mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus:

(x,y,z)=(cos⁡(φ)⋅sin⁡(λ),cos⁡(φ)⋅cos⁡(λ),sin⁡(φ))displaystyle (x,y,z)=(cos(varphi )cdot sin(lambda ),cos(varphi )cdot cos(lambda ),sin(varphi ))

Ein weiterer Punkt P′displaystyle P' auf der Erdkugel hat analog die Koordinaten

(x′,y′,z′)=(cos⁡(φ′)⋅sin⁡(λ′),cos⁡(φ′)⋅cos⁡(λ′),sin⁡(φ′))displaystyle (x',y',z')=(cos(varphi ')cdot sin(lambda '),cos(varphi ')cdot cos(lambda '),sin(varphi '))

Zunächst kann mit dem Satz des Pythagoras der euklidische Abstand der beiden Punkte im dreidimensionalen Raum berechnet werden (dies ist nicht die Luftlinie, sondern die Länge der Strecke, die durch die Erdkugel führt):

d(P,P′)=(x−x′)2+(y−y′)2+(z−z′)2displaystyle d(P,P')=sqrt (x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2

Zu jedem Punkt dieser Strecke existiert ein Lot, das senkrecht auf der Erdoberfläche steht (dort ist ein Punkt der Orthodrome) und folglich durch den Erdmittelpunkt geht. Alle Punkte eines solchen Lotes haben dieselben geografischen Koordinaten, aber einen unterschiedlichen Radius (Abstand vom Erdmittelpunkt). Wenn man als Radius jeweils den Erdradius Rdisplaystyle R verwendet, lassen sich die geografischen Koordinaten zu jedem Punkt der Orthodrome berechnen.

Aus dem Abstand ddisplaystyle d und dem Erdradius lässt sich nun der Öffnungswinkel ωdisplaystyle omega berechnen:

sin⁡(ω/2)=d/2R⇒ω=2⋅arcsin⁡(d/2R)displaystyle sin(omega /2)=frac d/2Rqquad Rightarrow omega =2cdot arcsin left(frac d/2Rright)

Alternativ kann der Öffnungswinkel mit dem Skalarprodukt berechnet werden:

cos⁡(ω)=a→⋅b→|a→||b→|=x∗x′+y∗y′+z∗z′x2+y2+z2x′2+y′2+z′2displaystyle cos(omega )=frac vec acdot vec b=frac x*x'+y*y'+z*z'sqrt x^2+y^2+z^2sqrt x'^2+y'^2+z'^2, da |a→|=|b→|=1= vereinfacht sich die Gleichung.

⇒ω=arccos⁡(x∗x′+y∗y′+z∗z′)displaystyle Rightarrow omega =arccos left(x*x'+y*y'+z*z'right)

Alternativ kann der Öffnungswinkel auch direkt aus den geographischen Koordinaten berechnet werden:

cos⁡(ω)=cos⁡(φ)⋅cos⁡(φ′)⋅cos⁡(λ−λ′)+sin⁡(φ)⋅sin⁡(φ′)⇒ω=arccos(…)displaystyle cos(omega )=cos(varphi )cdot cos(varphi ')cdot cos(lambda -lambda ')+sin(varphi )cdot sin(varphi ')qquad Rightarrow omega =arccos ,(dots )

Die gesuchte Luftlinie Ldisplaystyle L ist als Länge des Bogens nun der Öffnungswinkel im Bogenmaß multipliziert mit dem Erdradius:

L=ω⋅Rdisplaystyle L=omega cdot R

In gleicher Weise kann auch der scheinbare Abstand im Bogenmaß zweier Sterne mit gegebener Deklination und Rektaszension berechnet werden.^[3]

Weblinks |

 Wiktionary: Luftlinie – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• 
  Interaktive Berechnung der Luftlinienentfernung zwischen zwei Orten mit Visualisierung des Großkreisbogens auf einer Karte (kompf.de)

Einzelnachweise |

1. 
   ↑ Entfernung New-York → Berlin (luftlinie.org)
   


2. 
   ↑ Definition beim Duden
   


3. 
   ↑ ^ab Entfernungsberechnung bei Kompf.de