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Als quellfrei oder quellenfrei wird in der Physik und Potentialtheorie ein Vektorfeld bezeichnet, dessen Feldlinien im betrachteten Gebiet keinen Anfangspunkt besitzen. Quellfrei ist z. B. der Außenraum eines Kraft- oder Schwerefeldes, wenn er keinerlei Massenpunkte oder Ladungen enthält.

In der Natur ist dieser Idealfall kaum gegeben, weil es fast überall – auch im interplanetaren Raum – restliche Gasmoleküle, Staubteilchen und freie Elektronen gibt. Für die naturwissenschaftliche Praxis und in der Astronomie ist Quellfreiheit hingegen überall dort gegeben, wo die Materie- bzw. Gasdichte unter einigen Teilchen pro cm³ liegt. Für die Laborphysik kann das beste technisch erzeugbare Hochvakuum der Referenzwert sein, der mit einem Restgasdruck von etwa 10⁻¹¹Millibar weit darüber liegt.

Feldlinien und Divergenz |

In der Elektrodynamik und Strömungslehre werden quellfreie Räume dadurch charakterisiert, dass im betrachteten Raumabschnitt ebenso viele Feldlinien eintreten wie austreten. Dieses Verhalten der Feldlinien lässt sich mathematisch durch die Divergenz des Vektorfeldes beschreiben.

Die Mathematik nennt den Begriff „quellfrei“ auch divergenzfrei, denn das Fehlen von Quellen ist mit dem Verschwinden der Divergenz gekoppelt: in einem quellfreien Vektorfeld a→displaystyle vec a gilt:

diva→=0displaystyle operatorname div ,vec a,=,0

Hierbei steht divdisplaystyle operatorname div für den Divergenz-Operator (siehe auch Nabla-Operator).

Umgekehrt wird das Vorhandensein von Quellen charakterisiert durch diva→>0displaystyle operatorname div ,vec a>0 und das Vorhandensein von Senken durch diva→<0.displaystyle operatorname div ,vec a<0.

Interpretation und Beispiele |

Physikalisch lässt sich die Divergenz eines Vektorfeldes als Maß für die Quellstärke interpretieren, denn nach dem Satz von Gauß ist das Integral der Divergenz über ein Volumen gleich dem Fluss durch die Oberfläche des Volumens. Dementsprechend bezeichnet man ein Vektorfeld, dessen Divergenz Null ist, als quellfrei, denn hier ist für beliebige geschlossene Flächen der Fluss gleich Null, d. h., netto fließt nicht mehr heraus als herein. Es gibt also im Inneren des Volumens, das von der Fläche umschlossen wird, weder Quellen noch Senken.

Wichtige Beispiele für quellfreie Felder in der Physik sind das Magnetfeld, genauer: die magnetische Induktion, und die Geschwindigkeitsfelder von inkompressiblen Strömungen, die aufgrund der Kontinuitätsgleichung quellfrei sind.

Für alle zweimal stetig-differenzierbaren Vektorfelder V→(r→)displaystyle vec V(vec r) gilt nach dem Satz von Schwarz

div(rotV→(r→))≡0.displaystyle mboxdiv,(mboxrot,vec V(vec r)),equiv ,0.

Somit ist die Rotation eines zweimal stetig differenzierbaren Vektorfelds immer quellfrei.

(Für ein Vektorfeld V→(r→)displaystyle vec V(vec r) ergibt divV→displaystyle mboxdiv,vec V die Quellendichte und rotV→displaystyle mboxrot,vec V die sog. Wirbeldichte.)

Die Umkehrung gilt auch: Ein einmal stetig differenzierbares, überall quellfreies Vektorfeld B→(r→),displaystyle vec B(vec r), wie z. B. das Magnetfeld, also mit divB→(r→)≡0displaystyle mboxdivvec B(vec r)equiv 0 für alle r→,displaystyle vec r, besitzt überall ein zweimal stetig differenzierbares Vektorpotential A→(r→),displaystyle vec A(vec r), sodass also B→(r→)=rotA→(r→)  (=∇→×A→(r→))displaystyle vec B(vec r)=mboxrot,vec A(vec r) (=vec nabla times vec A(vec r)) gilt, wobei A→(r→)displaystyle vec A(vec r) zudem aus den Wirbeldichten von B→(r→)displaystyle vec B(vec r) durch Integration berechnet werden kann. Der Beweis ist nicht trivial (siehe Poincarésches Lemma).

Wenn das Feld dagegen wie im elektrischen Fall, also bei E→(r→),displaystyle vec E(vec r), nicht quellfrei, sondern wirbelfrei ist, besitzt es statt des Vektorpotentials A→(r→)displaystyle vec A(vec r) ein skalares Potential Φ(r→),displaystyle Phi (vec r), aus dem es durch Gradientenbildung abgeleitet werden kann, E→(r→)=−gradΦ(r→)  (=−∇→Φ(r→)).displaystyle vec E(vec r)=-mboxgrad,Phi (vec r) (=-vec nabla Phi (vec r)). Das skalare Potential kann aus den Quellendichten von E→displaystyle vec E durch Integration berechnet werden. Die Beweisschritte sind analog wie oben (siehe theoretische Elektrodynamik).

Literatur und Weblinks |

• 
  Bernhard Hofmann-Wellenhof et al: Physical Geodesy. Springer-Verlag, Wien 2005, ISBN 978-3211335444 (Lehrbuch).


• E.Fromm: Elektrodynamik (PDF; 231 kB). TU Chemnitz, 2007 (Vorlesungsskript).